数列を教えて下さい

質問

数列｛ａｎ｝は初項１の等差数列であり、ａ４＋ａ５＝１６を満たしている。数列｛ａｎ｝の初項から第ｎ項までの和をＳｎとし、数列｛ｂｎ｝、｛ｃｎ｝をそれぞれｂｎ＝１／２（Ｓｎ＋Ｓ（ｎ＋２））（ｎ＝１，２，３，……）、ｃｎ＝√（Ｓｎ×Ｓ（ｎ＋２））（ｎ＝１，２，３，………）によって定める。

（１）ａｎをｎを用いて表せ。→解けました。
ａｎ＝２ｎ－１です。

（２）Ｓｎをｎを用いて表せ。また、ｂｎ、ｃｎをそれぞれｎを用いて表せ。

（３）ｂ１、ｃ１、ｂ２、ｃ２、ｂ３、ｃ３、………、ｂｋ、ｃｋと並べた数列がある。この数列の初項から第２ｍ項までの和をｍを用いて表せ。ただし、ｍ＝１，２，３，………とする。

解答と解説をよろしくお願いします。

回答No.4

ferien · ベストアンサー

>数列｛ａｎ｝は初項１の等差数列であり、ａ４＋ａ５＝１６を満たしている。数列｛ａｎ｝の初項から
>第ｎ項までの和をＳｎとし、数列｛ｂｎ｝、｛ｃｎ｝をそれぞれｂｎ＝１／２（Ｓｎ＋Ｓ（ｎ＋２））
>（ｎ＝１，２，３，……）、ｃｎ＝√（Ｓｎ×Ｓ（ｎ＋２））（ｎ＝１，２，３，………）によって定め
>る。

>（１）ａｎをｎを用いて表せ。→解けました。
>ａｎ＝２ｎ－１です。……（１）

>（２）Ｓｎをｎを用いて表せ。また、ｂｎ、ｃｎをそれぞれｎを用いて表せ。

数列｛ａｎ｝の初項から>第ｎ項までの和をＳｎ（１）より、
Ｓn＝Σ（ｋ＝１～ｎ）２ｋ－１＝２Σ（ｋ＝１～ｎ）ｋ－Σ（ｋ＝１～ｎ）１
和の公式は、Σ（ｋ＝１～ｎ）ｋ＝(1/2)ｎ（ｎ＋１）……（ア）　上の式に代入すると
Ｓn＝ｎ^2　……答え　　Ｓn+2＝（ｎ＋２）^2
ｂｎ＝（１／２）×（Ｓｎ＋Ｓ（ｎ＋２））より、
ｂｎ＝（１／２）×（ｎ^2＋（ｎ＋２）^2）…（２）
　　＝ｎ2＋２ｎ＋２……答え
ｃｎ＝√（Ｓｎ×Ｓ（ｎ＋２）
　　＝√ｎ^2・（ｎ＋２）^2
　　＝ｎ（ｎ＋２）……（３）答え

>（３）ｂ１、ｃ１、ｂ２、ｃ２、ｂ３、ｃ３、………、ｂｋ、ｃｋと並べた数列がある。この数列の初
>項から第２ｍ項までの和をｍを用いて表せ。ただし、ｍ＝１，２，３，………とする。

（２）（３）を使って実際に数列の和を書き並べてみると
(1/2)（１^2＋３^2）＋１・３＋(1/2)（２^2＋４^2）＋２・４
＋(1/2)（３^2＋５^2）＋３・５＋……　のようになっている

例えば隣同士を足した、(1/2)（１^2＋３^2）＋１・３の部分は、
(1/2)（１^2＋３^2）＋１・３
＝(1/2)（１^2＋２（１・３）＋３^2）
＝(1/2)（１＋３）^2
＝(1/2)・４^2　のように書き換えられる。

(1/2)（２^2＋４^2）＋２・４
＝(1/2)（２＋４）^2
＝(1/2)・６^2
(1/2)（３^2＋５^2）＋３・５
＝(1/2)（３＋５）^2
＝(1/2)・８^2

よって、弟ｍ項は、
(1/2)（ｍ^2＋（ｍ＋２）)^2）
＝(1/2)（２ｍ＋２）^2
＝２（ｍ＋１）^2
＝２（ｍ^2＋２ｍ＋１）

和の公式　Σ（ｋ＝１～ｎ）ｋ^2＝(1/6)ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）や（ア）など使うと
初項から弟ｍ項（第２ｍ項）までの和は、
Σ（ｋ＝１～ｍ）２（ｋ^2＋２ｋ＋１）
＝２｛Σ（ｋ＝１～ｍ）ｋ^2＋＋２Σ（ｋ＝１～ｍ）ｋ＋Σ（ｋ＝１～ｍ）１｝
＝（１／３）ｍ（２ｍ^2＋９ｍ＋１３）……答え

何かあったらお願いします。

回答No.5

ferien

訂正です。済みません。

>よって、弟ｍ項は、
>(1/2)（ｍ^2＋（ｍ＋２）)^2）
>＝(1/2)（２ｍ＋２）^2
>＝２（ｍ＋１）^2
>＝２（ｍ^2＋２ｍ＋１）

よって、第ｍ項は、
(1/2)（ｍ^2＋（ｍ＋２）)^2）＋ｍ（ｍ＋２）
＝(1/2)（ｍ＋（ｍ＋２））^2
＝(1/2)（２ｍ＋２）^2
＝２（ｍ＋１）^2
＝２（ｍ^2＋２ｍ＋１）

でお願いします。

回答No.3

asuncion

＞（２）Ｓｎをｎを用いて表せ。

等差数列の和の公式はおわかりですか？

補足

スミマセン
わかりません

回答No.2

ferien

>ｂｎ＝１／２（Ｓｎ＋Ｓ（ｎ＋２））（ｎ＝１，２，３，……）

は、分母が２（Ｓｎ＋Ｓ（ｎ＋２））ですか？
それとも、ｂｎ＝（１／２）×（Ｓｎ＋Ｓ（ｎ＋２））ですか？

補足

ｂｎ＝（１／２）×（Ｓｎ＋Ｓ（ｎ＋２））です。