２数列の共通項から新しい数列を作ります

質問

初項が1，公差が3の等差数列{Ａn}と
初項が11，公差が10の等差数列{Ｂn}
に共通に含まれる項を小さい順に並べてできる数列{Ｃn}の一般項Ｃnを求めよ。
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という問題で、自分でといてみたところ、
Ａn＝3n-2
{Ｂn}＝11，21，31，41，…，10n＋1
Ａn＝Ｂnが成り立つＢnの最小値は31なので、
初項は31、公差は3×10＝30
よって、{Ｃn}＝31＋(n－1)・30＝30n＋1
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と解いてみたのですが、模範解答はもっと長く書いてありました。私の解き方ではダメなのでしょうか？？または今回は偶然求められただけなのでしょうか？
ちなみに、模範解答を読んでも意味がわからないので、どなたかわかりやすくまとめて頂けるとありがたいです。
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【模範解答】
Ａn＝3n－2
Ｂn＝10n＋1
等差数列{Ａn}の第p項と等差数列{Ｂn}の第q項が一致する。
すなわち、Ａp＝Ｂq。このとき、
3p－2＝10q＋1　…(1)
3(p-1)＝10q
これより、3と10は互いに素であるから、qは3の倍数となり、
q＝3k　(kは整数)　…(2)　とおける。
(2)を(1)に代入して、
3p－2＝10×3k＋1
p＝10k+1
よって、
p＝10k＋1
q＝3k
p＞0，q＞0より，k＞0であるから、
Ａ(10k+1)＝3×(10k＋1)－2
＝30k＋1
したがって、{Ｃn}＝30n＋1

回答No.2

elmclose · ベストアンサー

No.1です。

h-stormさんは、質問文において「公差は3×10＝30」と書いておられますが、公差が互いに素でないならば、ここのところは単純な掛け算ではなく、最小公倍数を求めることになります。

もし共通の項がひとつでもある場合は、そこから最小公倍数分たしたところにかならず共通の項があり、かつその最小公倍数分をたすところの前には共通の項が表れないからです。

「互いに素であることが重要である」というよりも、最小公倍数がＣｎの公差となり得て、その特殊な場合として互いに素である場合には掛け算でＣｎの公差が求められると理解すれば良いのではないでしょうか。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

hpsk

うーん、やはりh-stormさんの解答では、{Cn}の公差が30である根拠が不十分、として減点対象になってしまう気がします。
30が、3と10の最小公倍数であることを言っておけばセーフかもしれません。
今回は3と10が互いに素なので、(最小公倍数)＝(互いの積)に「たまたま」なるのです。

つまり
> 互いに素であることが重要である、という解釈でよいのでしょうか？
{Cn}の公差が２つの公差の積であることを主張するためには重要です。
{An}と{Bn}の公差がそれぞれ、2,4だと、Cnの公差は8、というわけにはいきませんよね。

3(p-1)＝10q からの (2)式の導出は、
・左辺＝右辺 となるためには右辺が3の倍数でなければならない。
・10は３の倍数ではないので、10qが3の倍数になるためには、qが3の倍数であることが最低限必要。
という理由から導かれています。
整数の問題では時々用いられるテクニックです。

お礼

具体的な例でよくわかりました。ありがとうございます。

回答No.1

elmclose

h-stormさんの解き方も、模範解答の解き方も、本質的にはまったく同じことを言っています。模範解答のほうが、やや形式的かつやや厳密に解いているという違いはありますが。形式性・厳密性は程度の問題ですので、あまり気にしなくて良いと思います。その一方で、数学は、解が結果として得られるだけではなく、その過程や論証力も非常に大事です（例えば、私の通った大学の入試の数学では、過程が合っていて答えが間違っていた人のほうが、過程が書かれていなくて答えが合っていた人よりも高い点数に採点されることもあったみたいです）ので、模範解答のほうもじっくりと読み込んでみてはどうでしょうか。

模範解答の（１）式は、普通に得られますよね。
（２）式の算出自体はやや荒っぽい気もしますが、要は、公差３と公差１０とが互いに素であるから、Ｃｎの公差がその積の３０になるということを言っているだけです。

お礼

ありがとうございます。
もし互いに素でなければ、今回の求め方以外にも共通項がでてきてしまうので、
互いに素であることが重要である、という解釈でよいのでしょうか？