【数列】

質問

初項が５で、公差が７の等差数列{ａｎ}と、
初項が６で、公差が４の等差数列{ｂｎ}がある。(ｎ=1，2，3、…)

(1)ａk=ｂ1となる自然数ｋ、ｌが存在するとき、
ｌを７で割ったあまりは？

(2)数列{aｎ}と{ｂｎ}に共通な高を小さい順に並べた数列{ｃｎ}の一般項は？

(3)数列{ｃｎ}で2000以下の項の和Sは？

(1)から分かりません…
どうとき始めたらよいか、さっぱりです。

解説付きでお願いしたいです！

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

a[n]=5+7(n-1)=7n-2
b[n]=6+4(n-1)=4n+2

(1)
a[k]=b[l]より、7k-2=4l+2
7k=4(l+1)
4と7は互いに素であるので、両辺が等しくなるためには
kが4の倍数で、かつ、l+1が7の倍数であることが必要となる。
l+1が7の倍数であることより、lを7で割ったときのあまりは6となる。

(2)
(1)の結果より、{a[n]}と{b[n]}とで共通な項は、{a[n]}のうち、
項数が4の倍数である項であることがわかる。
よって、{c[n]}の初項はa[4]=7・4-2=26,公比=7・4=28
∴c[n]=26+28(n-1)=28n-2

(3)
c[n]の値が2000を超えるのは、28n-2>2000よりn>71.5
nは整数なのでn=72
検算するとc[71]=1986,c[72]=2014
c[71]までは2000以下であることがわかる。
{c[n]}で2000以下の項の和、というのは、c[1]～c[71]の和であることがわかる。
初項26、項数71、末項1986のとき、
S=(26+1986)・71/2=71426

補足

(2)の説明がいまいち分かりません(><)

私の理解力不足です…
本当に申し訳ないです…

お時間があれば、教えてくださいm(__)m

回答No.3

asuncion

設問1の結果より、
数列{a[n]}にも{b[n]}にも現われる値（つまり、{a[n]}と{b[n]}とで共通な項）は、
{a[n]}の項数nが4の倍数であるときです。つまり、言いかえれば、
数列{c[n]}というのは、a[4],a[8],[12],a[16],... という数列なのです。
ですので、{c[n]}の初項はa[4]で、
公差はa[8]-a[4]=7×4=28です。
これでいかがでしょうか。

補足

めちゃくちゃわかりました！

本当にありがとうございましたm(__)m

回答No.1

alice_44

まず、ak を k の式で、bl を l の式で表して、
ak = bl を k と l の式にせよ。
式を眺めていれば、(1) は何とかなる。
その結果を踏まえて、l = 7m+((1)の答え)
となる自然数 m を考えれば、(2)も解る。
(2)が解れば、(3)は計算するだけ。