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【数列】

初項が5で、公差が7の等差数列{an}と、 初項が6で、公差が4の等差数列{bn}がある。(n=1,2,3、…) (1)ak=b1となる自然数k、lが存在するとき、 lを7で割ったあまりは? (2)数列{an}と{bn}に共通な高を小さい順に並べた数列{cn}の一般項は? (3)数列{cn}で2000以下の項の和Sは? (1)から分かりません… どうとき始めたらよいか、さっぱりです。 解説付きでお願いしたいです!

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  • 回答No.2
  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (1908/5773)

a[n]=5+7(n-1)=7n-2 b[n]=6+4(n-1)=4n+2 (1) a[k]=b[l]より、7k-2=4l+2 7k=4(l+1) 4と7は互いに素であるので、両辺が等しくなるためには kが4の倍数で、かつ、l+1が7の倍数であることが必要となる。 l+1が7の倍数であることより、lを7で割ったときのあまりは6となる。 (2) (1)の結果より、{a[n]}と{b[n]}とで共通な項は、{a[n]}のうち、 項数が4の倍数である項であることがわかる。 よって、{c[n]}の初項はa[4]=7・4-2=26,公比=7・4=28 ∴c[n]=26+28(n-1)=28n-2 (3) c[n]の値が2000を超えるのは、28n-2>2000よりn>71.5 nは整数なのでn=72 検算するとc[71]=1986,c[72]=2014 c[71]までは2000以下であることがわかる。 {c[n]}で2000以下の項の和、というのは、c[1]~c[71]の和であることがわかる。 初項26、項数71、末項1986のとき、 S=(26+1986)・71/2=71426

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質問者からの補足

(2)の説明がいまいち分かりません(><) 私の理解力不足です… 本当に申し訳ないです… お時間があれば、教えてくださいm(__)m

その他の回答 (2)

  • 回答No.3
  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (1908/5773)

設問1の結果より、 数列{a[n]}にも{b[n]}にも現われる値(つまり、{a[n]}と{b[n]}とで共通な項)は、 {a[n]}の項数nが4の倍数であるときです。つまり、言いかえれば、 数列{c[n]}というのは、a[4],a[8],[12],a[16],... という数列なのです。 ですので、{c[n]}の初項はa[4]で、 公差はa[8]-a[4]=7×4=28です。 これでいかがでしょうか。

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質問者からの補足

めちゃくちゃわかりました! 本当にありがとうございましたm(__)m

  • 回答No.1
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

まず、ak を k の式で、bl を l の式で表して、 ak = bl を k と l の式にせよ。 式を眺めていれば、(1) は何とかなる。 その結果を踏まえて、l = 7m+((1)の答え) となる自然数 m を考えれば、(2)も解る。 (2)が解れば、(3)は計算するだけ。

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