数列を教えて下さい

質問

ａ１＝３，ａｎ＋１＝２－１／ａｎ（ｎ＝１，２，３，……）で定められる数列｛ａｎ｝がある。

（１）ａ２，ａ３，ａ４を求めよ。
→自力で解けました。
たぶんａ２＝５／３，ａ３＝７／５，ａ４＝９／７です。

（２）（１）よりａｎを推測し、ａｎをｎを用いて表せ。また、その推測が正しいことを数学的帰納法で証明せよ。

（３）数列｛ｂｎ｝を、ｂｎ＝２ｎ＋１／２^ｎ・ａｎ（ｎ＝１，２，３，……）によって定める。Ｓ＝ｂ１＋ｂ２＋ｂ３＋………＋ｂｎとするとき、Ｓをｎを用いて表せ。

解説と解答をお願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

ａ１＝３，ａｎ＋１＝２－１／ａｎ（ｎ＝１，２，３，……）で定められる数列｛ａｎ｝がある。

>（１）ａ２，ａ３，ａ４を求めよ。
>→自力で解けました。
＞たぶんａ２＝５／３，ａ３＝７／５，ａ４＝９／７です。

>（２）（１）よりａｎを推測し、ａｎをｎを用いて表せ。また、その推測が正しいことを数学的帰納法
>で証明せよ。
（１）よりａｎを推測し、ａ1＝３／１　より、
ａｎ＝（２ｎ＋１）／（２ｎ－１）（ｎ＝１，２，……）……答え

ｎ＝１のとき、ａ1＝３／１より、成り立つ。
ｎ＝ｋのとき、ａk＝（２ｋ＋１）／（２ｋ－１）が成り立つと仮定すると、
ｎ＝ｋ＋１のとき、
ａk+1＝２－ａk
　　　＝２－（２ｋ＋１）／（２ｋ－１）
　　　＝………　（自分でやって下さい）
　　　＝「２（ｋ＋１）＋１｝／｛２（ｌ＋１）－１｝より、
ｎ＝ｋ＋１のときも成り立つ。
よって、すべての自然数ｎについて成り立つ。

>（３）数列｛ｂｎ｝を、ｂｎ＝２ｎ＋１／２^ｎ・ａｎ（ｎ＝１，２，３，……）によって定める。
>Ｓ＝>ｂ１＋ｂ２＋ｂ３＋………＋ｂｎとするとき、Ｓをｎを用いて表せ。

ｂｎ＝２ｎ＋１／２^ｎ・ａｎ
　　＝（２ｎ＋１）／２^ｎ・｛（２ｎ＋１）／（２ｎ－１）｝
　　＝（２ｎ－１）／２^ｎ

　 　Ｓ＝1/2＋3/4＋5/8＋……＋(2n-1)／２^n
(1/2)Ｓ＝　　 1/4＋3/8＋……＋(2n-3)／２^n＋(2n-1)／２^(n+1)
Ｓ－(1/2)Ｓ
＝1/2＋2/4＋2/8＋……＋2／２^n－(2n-1)／２^(n+1)
＝1/2＋｛1/２＋1/２^2＋1/２^3＋……＋1／２^（n-1)｝－(2n-1)／２^(n+1)

｛1/２＋1/２^2＋1/２^3＋……＋1／２^（n-1)｝は、初項1/2等比1/2の等比数列の和
＝(1/２)｛１－（1/２）^(n-1)｝／｛１－（１／２）｝
＝１－（1/２）^(n-1)

(1/2)Ｓ＝1/2＋１－（1/２）^(n-1)－(2n-1)／２^(n+1)
Ｓ＝（３・２^n－２ｎ－３）／２^n　……答え

答えが違うとか何かあったらお願いします。

回答No.3

joe81

本筋と少し逸れてしまうかもしれないので恐縮ですが、下記URLにて

3,5/3,7/5,9/7

を入力すると、Possible sequence identificationに

ａｎ＝（２ｎ＋１）／（２ｎ－１）が出てきました。いろいろと使えそうです。

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/

回答No.1

Tacosan

推測すらできない?