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数列を教えて下さい

a1=3,an+1=2-1/an(n=1,2,3,……)で定められる数列{an}がある。 (1)a2,a3,a4を求めよ。 →自力で解けました。 たぶんa2=5/3,a3=7/5,a4=9/7です。 (2)(1)よりanを推測し、anをnを用いて表せ。また、その推測が正しいことを数学的帰納法で証明せよ。 (3)数列{bn}を、bn=2n+1/2^n・an(n=1,2,3,……)によって定める。S=b1+b2+b3+………+bnとするとき、Sをnを用いて表せ。 解説と解答をお願いします。

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  • ferien
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a1=3,an+1=2-1/an(n=1,2,3,……)で定められる数列{an}がある。 >(1)a2,a3,a4を求めよ。 >→自力で解けました。 >たぶんa2=5/3,a3=7/5,a4=9/7です。 >(2)(1)よりanを推測し、anをnを用いて表せ。また、その推測が正しいことを数学的帰納法 >で証明せよ。 (1)よりanを推測し、a1=3/1 より、 an=(2n+1)/(2n-1)(n=1,2,……)……答え n=1のとき、a1=3/1より、成り立つ。 n=kのとき、ak=(2k+1)/(2k-1)が成り立つと仮定すると、 n=k+1のとき、 ak+1=2-ak    =2-(2k+1)/(2k-1)    =……… (自分でやって下さい)    =「2(k+1)+1}/{2(l+1)-1}より、 n=k+1のときも成り立つ。 よって、すべての自然数nについて成り立つ。 >(3)数列{bn}を、bn=2n+1/2^n・an(n=1,2,3,……)によって定める。 >S=>b1+b2+b3+………+bnとするとき、Sをnを用いて表せ。 bn=2n+1/2^n・an   =(2n+1)/2^n・{(2n+1)/(2n-1)}   =(2n-1)/2^n    S=1/2+3/4+5/8+……+(2n-1)/2^n (1/2)S=   1/4+3/8+……+(2n-3)/2^n+(2n-1)/2^(n+1) S-(1/2)S =1/2+2/4+2/8+……+2/2^n-(2n-1)/2^(n+1) =1/2+{1/2+1/2^2+1/2^3+……+1/2^(n-1)}-(2n-1)/2^(n+1) {1/2+1/2^2+1/2^3+……+1/2^(n-1)}は、初項1/2等比1/2の等比数列の和 =(1/2){1-(1/2)^(n-1)}/{1-(1/2)} =1-(1/2)^(n-1) (1/2)S=1/2+1-(1/2)^(n-1)-(2n-1)/2^(n+1) S=(3・2^n-2n-3)/2^n ……答え 答えが違うとか何かあったらお願いします。

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  • 回答No.3
  • joe81
  • ベストアンサー率33% (1/3)

本筋と少し逸れてしまうかもしれないので恐縮ですが、下記URLにて 3,5/3,7/5,9/7 を入力すると、Possible sequence identificationに an=(2n+1)/(2n-1)が出てきました。いろいろと使えそうです。

参考URL:
http://www.wolframalpha.com/

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  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

推測すらできない?

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