部分数列と有界
- 数列の有界性を示すために、ある部分列が全ての自然数kについて|Ank|>=kを満たすことを示す。
- 逆に、数列が有界であることを示すためには、ある自然数Kについて、どんな部分列Ankを取っても|Ank|<kとなることを示せば十分である。
- よって、数列の有界性とすべての自然数kについて|Ank|>=kを満たす部分列の存在は同値であり、必要十分条件である。
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部分数列と有界
こんにちは。 「数列(An)が有界でない⇔すべてのk（自然数）について|Ａnk|>=kである部分数列｛Ａnk｝が存在する」を示す問題です。 ＜考え方と解答＞ ・Ａ＝数列{An}が有界でない ・Ｂ＝すべてのk（自然数）について、|Ａnk|>=kである部分数列{An}が存在する 論理の対偶を示す。 ・Ａでない＝数列{An}が有界である ・Ｂでない＝あるK（自然数）について、どんな部分列Ａnkをとっても|Ａnk|<kとなるｋが存在する "Ｂでない→Ａでない" つまり「あるK（自然数）について、どんな部分列Ａnkをとっても|Ａnk|<kとなるｋが存在するならば数列{An}が有界である」を示す。 （証明） あるK（自然数）について、どんな部分列Ａnkをとっても|Ａnk|<kとなるｋが存在すると仮定すると、 （ (1) ） すべてのＡnkに対して、|Ａnk|<Ｍとなる正の定数Ｍが存在するので、数列{An}が有界である。Ｑ．Ｅ．Ｄ． "Ａでない→Ｂでない" つまり「数列{An}が有界であるならば、あるK（自然数）について、どんな部分列Ａnkをとっても|Ａnk|<kとなるｋが存在する」を示す。 （証明） 数列{An}が有界であるならば、すべてのｎについて、、|Ａn|<Ｍとなる正の定数Ｍが存在するので、 （ (2) ） あるK（自然数）について、どんな部分列Ａnkをとっても|Ａnk|<kとなるｋが存在する。Ｑ．Ｅ．Ｄ． 以上より必要十分が示せた。 ＜質問＞ （１）(1)と(2)に何か言葉を入れるべきでしょうか？？いきなり答えを言っているような気がしています。 （２）この対偶をとっての解答で間違っている所はありますか？？ 前に質問させてもらい、考えてもう一度書かせてもらいました。 アドバイスお願いします！！！
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>(1)と(2)に何か言葉を入れるべきでしょうか （１）、（２）に言葉を入れないで回答とするなら、まぁ、０点でしょう。 >この対偶をとっての解答で間違っている所はありますか 「左から右」を示すのに対偶「Ｂでない→Ａでない」を示すのは まちがっちゃいないですけど、センス悪ぅって感じです。 実際、空欄(1)に、相当多くのことを記述しないと完成しないんじゃないでしょうか？ 「右から左」をを示すのに対偶「Ａでない→Ｂでない」を示すのは やっぱり、センス良いとは思いません。対偶をとって証明することも容易ですが、 直接書き下したほうが早いと思います。 *)以下のサンプル記述では、Ａｎの部分列をＢｎとしています。 －－－－－－ Ａ⇒Ｂを示す。 数列(An)が有界でない ⇒ 任意のＭに対して、Ｍ<|Ａn| となるｎ番目の項がある ⇒ 自然数ｉに対して、ｉ<|Ａn| となるｎ番目の項がある ⇒ １＜|Ａn| となる最初のＡｎは存在し、これをＢ１とする。 このＡｎ以降の項で、 ２＜|Ａn| となる最初のＡｎは存在し、これをＢ２とする。 このＡｎ以降の項で、 ３＜|Ａn| となる最初のＡｎは存在し、これをＢ３とする。 ・・・ と構成すれば、Ｂｎは、Ａｎの部分列で題意を満たす。 －－－－－－ Ｂ⇒Ａを示す。 すべてのk（自然数）について|Ｂｎ|>=kである部分数列｛Ｂｎ｝が存在する ⇒ 任意のＭに対し、Ｍ＜ｋとなる自然数ｋを選ぶと、あるＡｎの部分列ＢｎのＢｋ について、|Ｂｋ|>=k＞Ｍ Ｂｋに対応するＡｎの項をＡｉとすると、Ｍ＜|Ａｉ| 従って、Ａｎは有界でない。 －－－－（参考）－－ Ａでない⇒Ｂでないを示す。 数列(An)が有界 ⇒ ある自然数ｋが存在し、任意のｎに対し、|Ａn|＜ｋ ⇒ どのようなＡｎの部分列Ｂｎについても、そのｋ番目の項に対し |Ｂｋ|＜ｋ となる。 すなわち、 すべてのk（自然数）について|Ｂｎ|>=kである部分数列｛Ｂｎ｝は存在しない。
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