有界でない問題とは？
- 数列(An)が有界でない⇔すべてのk（自然数）について|Ａnk|>=kである部分数列｛Ａnk｝が存在する
- 数列(An)が有界でないとは、ある数Mが存在し、任意の自然数nに対して|M|<|Ａn|を満たすことを示す。
- 要約：有界でない問題は、数列(An)がある数Mによって制約されずにどんどん増大していくことを示す。
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有界でないの問題
こんにちは。 「数列(An)が有界でない⇔すべてのk（自然数）について|Ａnk|>=kである部分数列｛Ａnk｝が存在する」を示す問題です。 ＜考え方と解答＞ ・Ａ＝数列{An}が有界でない ・Ｂ＝すべてのk（自然数）について、|Ａnk|>=kである部分数列{An}が存在する "A→B" 数列(An)が有界でない ⇒ すべてののＭ（実数）に対して、あるｎ（自然数）が存在して Ｍ<|Ａn| を満たす。 ⇒ Mとして自然数ｋを、ｎとしてｎｋを取ると ⇒ すべてのk（自然数）について、|Ａnk|>=kである部分数列{An}が存在する Ｑ．Ｅ．Ｄ． ＜質問＞ （１）A→Bの証明において、「Mとして自然数ｋを、ｎとしてｎｋを取ると」と書いたのですが もっと丁寧にわかりやすいかきかたはありますか？？ 前に質問させてもらい、考えてもう一度書かせてもらいました。 アドバイスお願いします！！！
- Lovechild0
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>とれることを論証する方法を教えてください。 簡単なので自分で考えましょう。 # こんな問題やってるということは大学生なんだよね？
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- koko_u_
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>もっと丁寧にわかりやすいかきかたはありますか？？ 「n として n_k を取る」 の箇所が適当ですな。 部分数列なので、自然数 k に対して k < |An| なる n (= n_k )を何でも良いからひとつ取っているのではなく、 1～(k-1)までに選択した n_1 ～ n_(k-1) よりも大きく n_k がとれることを論証する必要がありましょう。
補足
1～(k-1)までに選択した n_1 ～ n_(k-1) よりも大きく n_k がとれることを論証する方法を教えてください。帰納法ですか？？
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こんにちは。 「数列(An)が有界でない⇔すべてのk（自然数）について|Ａnk|>=kである部分数列｛Ａnk｝が存在する」を示す問題です。 ＜考え方と解答＞ ・Ａ＝数列{An}が有界でない ・Ｂ＝すべてのk（自然数）について、|Ａnk|>=kである部分数列{An}が存在する 論理の対偶を示す。 ・Ａでない＝数列{An}が有界である ・Ｂでない＝あるK（自然数）について、どんな部分列Ａnkをとっても|Ａnk|<kとなるｋが存在する "Ｂでない→Ａでない" つまり「あるK（自然数）について、どんな部分列Ａnkをとっても|Ａnk|<kとなるｋが存在するならば数列{An}が有界である」を示す。 （証明） あるK（自然数）について、どんな部分列Ａnkをとっても|Ａnk|<kとなるｋが存在すると仮定すると、 （ (1) ） すべてのＡnkに対して、|Ａnk|<Ｍとなる正の定数Ｍが存在するので、数列{An}が有界である。Ｑ．Ｅ．Ｄ． "Ａでない→Ｂでない" つまり「数列{An}が有界であるならば、あるK（自然数）について、どんな部分列Ａnkをとっても|Ａnk|<kとなるｋが存在する」を示す。 （証明） 数列{An}が有界であるならば、すべてのｎについて、、|Ａn|<Ｍとなる正の定数Ｍが存在するので、 （ (2) ） あるK（自然数）について、どんな部分列Ａnkをとっても|Ａnk|<kとなるｋが存在する。Ｑ．Ｅ．Ｄ． 以上より必要十分が示せた。 ＜質問＞ （１）(1)と(2)に何か言葉を入れるべきでしょうか？？いきなり答えを言っているような気がしています。 （２）この対偶をとっての解答で間違っている所はありますか？？ 前に質問させてもらい、考えてもう一度書かせてもらいました。 アドバイスお願いします！！！
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返信有難うございます。 自然数kに対して、k<|Ａn| となる ⇒ １＜|Ａn| となるＡｎ1は存在し、１＜|Ａn1| このＡｎ1以降の項で、 ２＜|Ａn2| となるＡｎ2は存在し、１＜|Ａn2| このＡｎ2以降の項で、 ３＜|Ａn3| となるＡｎ3は存在し、 １＜|Ａn3| これを繰り返すことにより自然数kに対して、k<|Ａnk| みたいな感じでいいんですか？？