有界でないについて

質問

こんにちは。
「数列(An)が有界でない⇔すべてのk（自然数）について|An|>=kである部分数列(An)が存在する」を示す問題です。
＜自分で考えた解答＞
"→"
　数列{An}が有界であると仮定すると、
　ある正数Mが存在し、任意の自然数nに対して
　　　　|An|<M　
　　が成立する。
　よって、矛盾するので、有界でないとなる。
"←"
　すべてのk（自然数）について
　　|An|>=k
　である部分数列(An)が存在する・・・(1)とすると、
　有界であるのとき、
　「すべてのk（自然数）について
　　|An|<k
　である部分数列(An)が存在する」
　ので、(1)の条件は有界でない。

　以上より必要十分が示せた。

＜質問＞
　(1)この解答で、部分数列についての扱いがわからないので、解答にどうつなげていくのか？
　(2)背理法で解答するべきか？背理法以外の方法はないのか？
これについてアドバイスお願いします！！

回答No.3

einart · ベストアンサー

「有界でない」の定義はご存知ですか？

知っての通りそんなものはありません。
つまり方法として「有界」と示すしかないので、背理法（つまり対偶を用いた証明）を使うしかないのです。
　A=数列(An)が有界でない　
　B＝すべてのk（自然数）について|An|>=kである部分数列(An)が存在するとしましょう。
「有界でない」は証明できないので論理の対偶を取り
ⅰ.　A⇒B　の対偶　￢B⇒￢A
ⅱ.　B⇒A　の対偶　￢A⇒￢B
を示します。
※注意　Bは　「∀ｋ、∃An、|An|＞ｋ」　なので
　　　　￢B＝「∀An、∃ｋ、|An|＜ｋ」　である。

ⅰ　￢Bの条件
　　　　「どんな部分列Bnをとっても|Bn|＜ｋとなるｋが存在する」
　　を用いて
　　An自身を部分列Bnとすれば￢Aが成立する。

ⅱ　￢Aの条件
　　　　「全てのAnに対して、|An|<M　となるMが存在する。」
　　を用いると、もちろん
　　どのようなAnの部分列をとっても成立してますね。
　　故に￢Bが成立

以上で証明終わりです。Lovechild0さんは（→）の証明で
　￢A⇒B　が矛盾するので　A⇒B
としています。これは間違いです。正しくは
　￢A⇒B　が矛盾するので　B⇒A
なので（→）と（←）が全く同じことを言ってます。
教授たちは非常に敏感なので対偶のとりかたには慎重になってください。

回答No.2

may0430

こんにちは（^^）
回答ではないのですが、アドバイスをさせてください。
"→"をおそらく背理法で考えようとされたと思うのですが、
背理法になってないと思います…。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/cond004.htm
↑このページの中ほどを頭にやきつけてください。

ANo.1の補足の「…」も間違っていますので、もう一度、
数列が有界であることの定義と、部分列の定義を確認されてみてください。

補足

「すべてのk（自然数）について|An|>=kである部分数列(An)が存在する」を「あるk（自然数）について|An|<kである部分数列(An)が存在する」として考えると背理法でできますね！ありがとうございます！

回答No.1

koko_u_

はげしく間違っています。

とりあえず、数列 (A_n) と部分列 (A_n) が設問からして混乱しているので、部分列の方は (A_n(j)) 等、区別しましょう。

それから「すべてのk（自然数）について|An|>=kである部分数列(An)が存在する」の主張もちょっとおかしいので設問を見直しましょう。

補足

返答ありがとうございます。
「すべてのk（自然数）について|An|>=kである部分列(Ank)が存在する」と直しました。部分数列と数列の違いでどのように考え方がかわるのか教えてもらえないでしょうか？

　まだ勉強し始めで、基本的な問題かもしれませんが行きずまってます＞＜