• ベストアンサー

有界でないについて

こんにちは。 「数列(An)が有界でない⇔すべてのk(自然数)について|An|>=kである部分数列(An)が存在する」を示す問題です。 <自分で考えた解答> "→"  数列{An}が有界であると仮定すると、  ある正数Mが存在し、任意の自然数nに対して     |An|<M    が成立する。  よって、矛盾するので、有界でないとなる。 "←"  すべてのk(自然数)について   |An|>=k  である部分数列(An)が存在する・・・(1)とすると、  有界であるのとき、  「すべてのk(自然数)について   |An|<k  である部分数列(An)が存在する」  ので、(1)の条件は有界でない。    以上より必要十分が示せた。 <質問>  (1)この解答で、部分数列についての扱いがわからないので、解答にどうつなげていくのか?  (2)背理法で解答するべきか?背理法以外の方法はないのか? これについてアドバイスお願いします!! 

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • einart
  • ベストアンサー率25% (7/27)
回答No.3

「有界でない」の定義はご存知ですか? 知っての通りそんなものはありません。 つまり方法として「有界」と示すしかないので、背理法(つまり対偶を用いた証明)を使うしかないのです。  A=数列(An)が有界でない   B=すべてのk(自然数)について|An|>=kである部分数列(An)が存在するとしましょう。 「有界でない」は証明できないので論理の対偶を取り ⅰ. A⇒B の対偶 ¬B⇒¬A ⅱ. B⇒A の対偶 ¬A⇒¬B を示します。 ※注意 Bは 「∀k、∃An、|An|>k」 なので     ¬B=「∀An、∃k、|An|<k」 である。 ⅰ ¬Bの条件     「どんな部分列Bnをとっても|Bn|<kとなるkが存在する」   を用いて   An自身を部分列Bnとすれば¬Aが成立する。 ⅱ ¬Aの条件     「全てのAnに対して、|An|<M となるMが存在する。」   を用いると、もちろん   どのようなAnの部分列をとっても成立してますね。   故に¬Bが成立 以上で証明終わりです。Lovechild0さんは(→)の証明で  ¬A⇒B が矛盾するので A⇒B としています。これは間違いです。正しくは  ¬A⇒B が矛盾するので B⇒A なので(→)と(←)が全く同じことを言ってます。 教授たちは非常に敏感なので対偶のとりかたには慎重になってください。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

その他の回答 (2)

  • may0430
  • ベストアンサー率54% (57/104)
回答No.2

こんにちは(^^) 回答ではないのですが、アドバイスをさせてください。 "→"をおそらく背理法で考えようとされたと思うのですが、 背理法になってないと思います…。 http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/cond004.htm ↑このページの中ほどを頭にやきつけてください。 ANo.1の補足の「…」も間違っていますので、もう一度、 数列が有界であることの定義と、部分列の定義を確認されてみてください。

Lovechild0
質問者

補足

「すべてのk(自然数)について|An|>=kである部分数列(An)が存在する」を「あるk(自然数)について|An|<kである部分数列(An)が存在する」として考えると背理法でできますね!ありがとうございます!

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。
  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)
回答No.1

はげしく間違っています。 とりあえず、数列 (A_n) と部分列 (A_n) が設問からして混乱しているので、部分列の方は (A_n(j)) 等、区別しましょう。 それから「すべてのk(自然数)について|An|>=kである部分数列(An)が存在する」の主張もちょっとおかしいので設問を見直しましょう。

Lovechild0
質問者

補足

返答ありがとうございます。 「すべてのk(自然数)について|An|>=kである部分列(Ank)が存在する」と直しました。部分数列と数列の違いでどのように考え方がかわるのか教えてもらえないでしょうか?  まだ勉強し始めで、基本的な問題かもしれませんが行きずまってます><

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • 有界でないの問題です!

    こんにちは。前に投稿しましたが、自分なりに考えた解答をみてください。間違いなどありますか??お願いします。 「数列(An)が有界でない⇔すべてのk(自然数)について|Ank|>=k である部分数列{Ank}が存在する」を示す問題です。 <考え方と解答> ・A=数列{An}が有界でない ・B=すべてのk(自然数)について、|Ank|>=kである部分数列{An}が存在する "A→B" 定義より、数列(An)が有界でない ⇔  すべてのM(実数)に対して、適当なn(自然数)が存在して   M<|An| を満たすから  すべてのk(自然数)に対して、適当なn(自然数)が存在して   k<|An| を満たす。 つまり、  すべてのk(自然数)に対して、k<|Ank|である  部分数列{Ank}が存在する よって、  すべてのk(自然数)に対して、k=<|Ank|である 部分数列{An}が存在する Q.E.D.   "A→B" すべてのk(自然数)に対して、|Ank|>=kである部分数列{An}が存在する つまり、 すべてのM(実数)に対して、M<kとなる自然数kをとると、 数列{An}の部分数列{Ank}について、   |Ank|>=k>M  となるので、数列{An}について、   |An|>M  となる。よって、数列{An}が有界でない。                  Q.E.D. 以上より、必要十分が示せた。   

  • 部分数列と有界

    こんにちは。 「数列(An)が有界でない⇔すべてのk(自然数)について|Ank|>=kである部分数列{Ank}が存在する」を示す問題です。 <考え方と解答> ・A=数列{An}が有界でない ・B=すべてのk(自然数)について、|Ank|>=kである部分数列{An}が存在する 論理の対偶を示す。 ・Aでない=数列{An}が有界である ・Bでない=あるK(自然数)について、どんな部分列Ankをとっても|Ank|<kとなるkが存在する "Bでない→Aでない" つまり「あるK(自然数)について、どんな部分列Ankをとっても|Ank|<kとなるkが存在するならば数列{An}が有界である」を示す。 (証明) あるK(自然数)について、どんな部分列Ankをとっても|Ank|<kとなるkが存在すると仮定すると、   ( (1) ) すべてのAnkに対して、|Ank|<Mとなる正の定数Mが存在するので、数列{An}が有界である。Q.E.D.   "Aでない→Bでない" つまり「数列{An}が有界であるならば、あるK(自然数)について、どんな部分列Ankをとっても|Ank|<kとなるkが存在する」を示す。 (証明) 数列{An}が有界であるならば、すべてのnについて、、|An|<Mとなる正の定数Mが存在するので、   ( (2) ) あるK(自然数)について、どんな部分列Ankをとっても|Ank|<kとなるkが存在する。Q.E.D.    以上より必要十分が示せた。 <質問> (1)(1)と(2)に何か言葉を入れるべきでしょうか??いきなり答えを言っているような気がしています。 (2)この対偶をとっての解答で間違っている所はありますか?? 前に質問させてもらい、考えてもう一度書かせてもらいました。 アドバイスお願いします!!!

  • 有界でないの問題

    こんにちは。 「数列(An)が有界でない⇔すべてのk(自然数)について|Ank|>=kである部分数列{Ank}が存在する」を示す問題です。 <考え方と解答> ・A=数列{An}が有界でない ・B=すべてのk(自然数)について、|Ank|>=kである部分数列{An}が存在する "A→B" 数列(An)が有界でない ⇒ すべてののM(実数)に対して、あるn(自然数)が存在して M<|An| を満たす。 ⇒ Mとして自然数kを、nとしてnkを取ると ⇒  すべてのk(自然数)について、|Ank|>=kである部分数列{An}が存在する Q.E.D.   <質問> (1)A→Bの証明において、「Mとして自然数kを、nとしてnkを取ると」と書いたのですが もっと丁寧にわかりやすいかきかたはありますか?? 前に質問させてもらい、考えてもう一度書かせてもらいました。 アドバイスお願いします!!!

  • 背理法と数列

    (a1)=1,(an+1)=(an)-9/(an)-5で定められる数列{an}がある。 (1)すべての自然数nに対して(an)not=3であることを示せ。 教えてほしいところ 模範解答では背理法である自然数(an+1)=3とするとと仮定して、矛盾を導き (an)not=3であるとしていました。 しかし、背理法で仮定したのはあくまで、(an+1)=3が成り立つとした次元です。 ですから、それが矛盾した結果は(an+1)=3が成り立たないという結果が得られるだけで、 anが成り立たなかったという結果は得られないのでは???

  • 下に有界な数列{an}の極限とanの関係の証明

    こんにちは。大学学部生1年です。 処理できない問題があるのでご協力いただきたく投稿しました。 なお、今考えている証明を載せておきますので、訂正などしていただけると嬉しいです。(^^; 【問】 下に有界な単調減少列{an}について、{an}が極限αを持つならばan≧αを証明せよ。 ∵)∃Mは実数,∀nは自然数;M≦anとする。   また、αが{an}の極限であることから、   ∀ε>0,∃Nは自然数,n≧N;|an-α|<εが成り立つ。―(1)   今、an<αと仮定すると、{an}は単調減少列なので、   α>an≧an+1≧an+2≧…≧Mとなる。―(2)   (1)より、an<αのとき、α-an<ε   また、(2)より、α-an<α-an+1<α-an+2<…となり、   αが極限であることに矛盾する。   よって、an≧α                  (証終) なんか変な気がするんですよね・・・ 環境依存文字が多かったため、表記が稚拙なところがあります。すみません。

  • 微分積分学の問題です

    数列{an}が有界数列であるための必要十分条件は、|an|≦Mをみたす、nに無関係な定数Mが存在することである。を証明せよ。 証明の仕方がよくわからないので解答をお願いします。

  • 微分積分の問題です。実数列{an}は、単調増加で上

    微分積分の問題です。実数列{an}は、単調増加で上に有界であるものとする。... 実数列{an}は、単調増加で上に有界であるものとする。この{an}の上限をαで表す。したがって、 ・任意の自然数nに対してan ≦ αが成り立ち、 ・任意の自然数eに対してaN > α-e となる自然数Nが存在する。 以下の3つの設問に答えよ。 (1)数列{an}の極限値はαであること、すなわち、任意の整数eに対し、n > Nのときには|an-α| < e となる自然数Nが存在することを示せ。 (2)数列{an}は、an = 1 - 1/n であれば単調増加で上に有界となることを示せ。 (3)設問(2)で与えた数列{an}の極限値αを求めよ。このαに対し、n > N のときに|an-α| < 0.001を満たす最小の自然数Nを計算せよ。 この問題の解説をどなたかよろしくお願いします。

  • 互いに素である証明(背理法)の解き方

    数学Aの整数の性質について質問です。 ほぼほぼ背理法の質問かもしれないですが、 証明の、a+bとabが互いに素でないと仮定すると、と一行目に書いてあるのに、 これは互いに素であると矛盾する。と仮定したことと反対の互いに素で“ある”と逆のことを言って証明になる意味がわかりません。 背理法って、仮定を立てて、その矛盾を証明するんですよね? それなのになんでこの問題では、仮定と全然違うことを矛盾しているという感じになっているんでしょうか? あと、証明で、kとlは自然数としていますが、互いに素な自然数としないのはなぜでしょうか? 教えてください。

  • この場合,Cauchy列が有界となる理由は?

    宜しくお願い致します。 最下の命題の証明でCauchy列が有界となる理由がわかりません。 [定義-3]順序集合(A,≦')の部分集合Bに於いて、{b∈B ;∀x∈B,b≦'x}≠φの時、 {b∈B;∀x∈B,b≦'x}:単集合となる{b∈B ;∀x∈B,b≦'x}のただ一つの元bをminBと表記し、(A,≦')に於けるBの最小元と言う。 [定義-2]順序集合(A,≦')の部分集合Bに於いて、{a∈A ;∀x∈B,x≦'a}≠φの時、 {a∈A ;x∈B⇒x≦'a}の元を(A,≦')に於けるBの上界と言う。 [定義-1] 順序集合(A,≦')に於いて、Aの部分集合Bに於ける上界が存在する時、Bは(A,≦')の中で上に有界であると言う。 [定義0] 順序集合(A,≦')に於いて、Aの部分集合Bに於ける上界が存在する時、その上界の集合の最小限をBの上限といい,supBと書く。 [定義1] 数列{a_n}のある部分列がaに収束する時,このaを数列{a_n}の集積値という。 [定義2] 順序集合(A,≦')が完備 ⇔ (i) (A⊃)Bが上に有界ならば∃supB∈A (ii) (A⊃)Bが下に有界ならば∃infB∈A [命題1](Weierstrassの定理) 有界な数列には少なくとも1つの集積値が存在する。 [命題2] 数列{a_n}が収束する ⇔ (i) {a_n}が有界 (ii) {a_n}の集積値は唯一つ [命題3] 順序集合(A,≦')を距離空間(その距離をdとする)とする。Aが完備ならばAの任意のCauchy列{c_n}はlim[n→∞]c_n∈A. を示しています。 [証] Cauchy列の定義から0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m,n∈N⇒d(c_m,c_n)<ε {c_n}は有界(∵?)。 従って,sup{c_n}∈A,inf{c_n}∈A(∵定義2) これから{c_n}は有界と言えるから,{c_n}は収束する (∵唯1つの集積値が存在する (∵{c_n}には少なくとも1つの集積値が存在するから(命題1), {c_n}の集積値が2つあったと仮定し,その集積値をa,bとする。 {c_n}の部分列{a_n}がaに収束,部分列{b_n}がbに収束。 収束の定義から夫々 0<ε'∈R,∃M'∈N;M'<k⇒|a_k-a|<ε' 0<ε'∈R,∃M"∈N;M"<h⇒|b_h-b|<ε' ところが |a-b|=|(a-a_k)-(b-b_h)+(a_k-b_h)| ≦|a-a_k|+|b-b_h|+|a_k-b_h|<2ε'+|a_k-b_h| ∴ |a_k-b_h|>|a-b|-2ε' これはmax{M',M"}<∀k,h∈Nに対しても|a_k-b_h|>|a-b|-2ε'となってしまう事を意味しているので ここでε':=|a-b|/4と採ってしまうと, ∃M∈N;M<k,h∈N⇒|a_k-b_h|>|a-b|/2 となり,Cauchy列の定義に反する) よって命題2) そして,{c_n}の収束値をcとするとc∈A (∵c∈A^cだと仮定してみると今,lim[n→∞]c_n=cなので 0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m∈N⇒d(c_m,c)<εと書ける筈だが書けない(∵dはAでしか定義されてない)) 、、、と示せると思うのですが2行目「{c_n}が有界」の理由がわかりません。 d(c_m,c_n)<εからどうすれば{c_n}が有界である事が言えますでしょうか?

  • 数学IIについて質問です

    この問題が解けません。 数列{An}は、条件A1=7、An+1=(An)^3 (n=1,2,3,・・・)によって定められているとする。 nは自然数とするとき、Anを3^nで割ったときの余りが1になることを数学的帰納法によって証明せよ。 僕自身ここまではいけました。 (i)n=1のとき A1=7より A1÷3^1=7÷3=2 余り1 よってn=1のとき成り立つ (ii)n=kのときに成り立つと仮定する このとき、 Ak=3^k×M+1・・・(1) (Mは自然数で(1)の商である) が成り立つことが分かる。 そして n=k+1のとき (1)より Ak+1=3^(k+1)×M+1 この先がどうやって解けばいいか分かりません。 PCを使い慣れていないので、少なからず変な表示のところがあると思いますが よろしくお願いします。

このQ&Aのポイント
  • LG VELVETの充電中、W-QA03XBXワイヤレス充電器のLEDランプが赤青点滅して充電不可になりました。何か問題が発生しているのでしょうか?調査してください。
  • 半年間正常に機能していたW-QA03XBXワイヤレス充電器ですが、LG VELVETの充電中にLEDランプが赤青点滅し、充電ができなくなりました。原因と解決策をお教えください。
  • W-QA03XBXワイヤレス充電器を使用しているときに、LG VELVETの充電中にLEDランプが赤青点滅し、充電ができない状況が発生しました。この問題の原因と解決方法をご案内ください。
回答を見る