この場合,Cauchy列が有界となる理由は?

質問

宜しくお願い致します。 最下の命題の証明でCauchy列が有界となる理由がわかりません。

[定義-3]順序集合(A,≦')の部分集合Bに於いて、{b∈B ;∀x∈B,b≦'x}≠φの時、
{b∈B;∀x∈B,b≦'x}:単集合となる{b∈B ;∀x∈B,b≦'x}のただ一つの元bをminBと表記し、(A,≦')に於けるBの最小元と言う。

[定義-2]順序集合(A,≦')の部分集合Bに於いて、{a∈A ;∀x∈B,x≦'a}≠φの時、
{a∈A ;x∈B⇒x≦'a}の元を(A,≦')に於けるBの上界と言う。

[定義-1] 順序集合(A,≦')に於いて、Aの部分集合Bに於ける上界が存在する時、Bは(A,≦')の中で上に有界であると言う。

[定義0] 順序集合(A,≦')に於いて、Aの部分集合Bに於ける上界が存在する時、その上界の集合の最小限をBの上限といい,supBと書く。

[定義1] 数列{a_n}のある部分列がaに収束する時,このaを数列{a_n}の集積値という。

[定義2] 順序集合(A,≦')が完備
⇔
(i) (A⊃)Bが上に有界ならば∃supB∈A
(ii) (A⊃)Bが下に有界ならば∃infB∈A

[命題1](Weierstrassの定理) 有界な数列には少なくとも1つの集積値が存在する。

[命題2] 数列{a_n}が収束する
⇔
(i) {a_n}が有界
(ii) {a_n}の集積値は唯一つ

[命題3] 順序集合(A,≦')を距離空間(その距離をdとする)とする。Aが完備ならばAの任意のCauchy列{c_n}はlim[n→∞]c_n∈A.
を示しています。

[証]
Cauchy列の定義から0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m,n∈N⇒d(c_m,c_n)<ε
{c_n}は有界(∵?)。
従って,sup{c_n}∈A,inf{c_n}∈A(∵定義2)
これから{c_n}は有界と言えるから,{c_n}は収束する
(∵唯1つの集積値が存在する
(∵{c_n}には少なくとも1つの集積値が存在するから(命題1),
{c_n}の集積値が2つあったと仮定し,その集積値をa,bとする。
{c_n}の部分列{a_n}がaに収束,部分列{b_n}がbに収束。
収束の定義から夫々
0<ε'∈R,∃M'∈N;M'<k⇒|a_k-a|<ε'
0<ε'∈R,∃M"∈N;M"<h⇒|b_h-b|<ε'
ところが
|a-b|=|(a-a_k)-(b-b_h)+(a_k-b_h)|
≦|a-a_k|+|b-b_h|+|a_k-b_h|<2ε'+|a_k-b_h|
∴ |a_k-b_h|>|a-b|-2ε'
これはmax{M',M"}<∀k,h∈Nに対しても|a_k-b_h|>|a-b|-2ε'となってしまう事を意味しているので
ここでε':=|a-b|/4と採ってしまうと,
∃M∈N;M<k,h∈N⇒|a_k-b_h|>|a-b|/2　となり,Cauchy列の定義に反する)
よって命題2)

そして,{c_n}の収束値をcとするとc∈A
(∵c∈A^cだと仮定してみると今,lim[n→∞]c_n=cなので
0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m∈N⇒d(c_m,c)<εと書ける筈だが書けない(∵dはAでしか定義されてない))

、、、と示せると思うのですが2行目「{c_n}が有界」の理由がわかりません。
d(c_m,c_n)<εからどうすれば{c_n}が有界である事が言えますでしょうか?

回答No.6

muturajcp

たとえ順序位相と距離位相が同相でもCauchy列は、収束しません。
完備な順序集合は完備な距離空間ではありません
反例)
A={1/n}_{n∈N(自然数全体)}とする
A⊂R(実数)だからAに実数と同相な順序≦と距離dを定義できる
0はAの元でないからAは下に有界でない
A={1/n}はCauchy列だが、収束しない。
よって
[命題3]は成立しない。

回答No.5

uzumakipan

こんばんは、＃１です。すでにわかってらっしゃるかもしれませんが、＃２と＃３さんが指摘していらっしゃるように、順序と距離の関係が落ちていますので、＃１の証明は誤りです。絶対値の記号を使っていたのでＡは実数の部分集合かと勘違いしていました。

＃２、＃３さんが指摘している部分をもう一度確認すれば、＃１のような方法で示せると思います。

お礼

大変有難うございます。

Cauchy列の定義から0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m,n⇒d(c_m,c_n)<ε これから-ε<d(c_m,c_n)<εから先に進めません。
a≦'b≦'c⇔d(a,b))≦d(a,c)の関係をどのように使えば有界が示せますでしょうか?

回答No.4

ojisan7

この回答で最後とさせて頂きます。

順序≦と距離ｄの関係はいろいろあるでしょうけど、一番自然で、分かり易い関係として、たとえば、
a≦b≦cのときd(a,b))≦d(a,c)とすればいいんじゃないかな。ただし、a≦b≦cの≦記号と、d(a,b))≦d(a,c)の≦記号は意味が違いますので注意して下さいね。

それから、
>>d(a,b)≦d(a,a_k)+d(b,b_h)+d(a_k,b_h)
>>　　　　↑
>>ここの部分が言えませんよね。
と述べていますが、ｄは距離ですよね。だから、当然、
d(a,b)≦d(a,a_k)+d(b,b_h)+d(a_k,b_h)
は成り立つはずです。

お礼

大変有難うございます。

> a≦b≦cのときd(a,b))≦d(a,c)とすればいいんじゃないかな。
> ただし、a≦b≦cの≦記号と、
> d(a,b))≦d(a,c)の≦記号は
> 意味が違いますので注意して下さいね。

Cauchy列の定義から0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m,n⇒d(c_m,c_n)<ε これから-ε<d(c_m,c_n)<εから先に進めません。
a≦b≦c⇔d(a,b))≦d(a,c)の関係をどのように使えば有界が示せますでしょうか?

すっすいません。m(＿ ＿)m

> ｄは距離ですよね。だから、当然、
> d(a,b)≦d(a,a_k)+d(b,b_h)+d(a_k,b_h)
>　は成り立つはずです。

d(a,b)≦d(a,a_k)+d(a_k,b) (∵三角不等式)
≦d(a,a_k)+d(a_k,b_h)+d(b_h,b) (∵三角不等式)
で上手くいきました。

回答No.3

ojisan7

>{c_n}は有界(∵?)。

順序≦'（たぶん全順序集合だと思うが）と距離dの関係が与えられていないと、{c_n}が有界であることを示すのは、ちょっと無理です。c_1から、{c_n}の任意の要素までの距離は有界ですが、それが、順序≦の意味で有界であるとは限りません。また、質問者さんはAの要素同士の加減を行っているようですが、Aは順序加群でしょうか？

お礼

ご回答有難うございます。

>> {c_n}は有界(∵?)。
> 順序≦'（たぶん全順序集合だと思うが）と
> 距離dの関係が与えられていないと、

すいません。どのように関係を与えれば宜しいのでしょうか?

> {c_n}が有界であることを示すのは、ちょっと無理です。
> c_1から、{c_n}の任意の要
> 素までの距離は有界ですが、
> それが、順序≦の意味で有界であるとは限りません。ま
> た、質問者さんはAの要素同士の加減を行っているようですが、
> Aは順序加群でしょうか？

順序加群ではないです。すいません。失礼致しました。下記のように書き直しましたが、、、

[証]
Cauchy列の定義から0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m,n∈N⇒d(c_m,c_n)<ε
{c_n}は有界(∵?)。
従って,sup{c_n}∈A,inf{c_n}∈A(∵定義2)
これから{c_n}は有界と言えるから,{c_n}は収束する
(∵唯1つの集積値が存在する
(∵{c_n}には少なくとも1つの集積値が存在するから(命題1),
{c_n}の集積値が2つあったと仮定し,その集積値をa,bとする。
{c_n}の部分列{a_n}がaに収束,部分列{b_n}がbに収束。
収束の定義から夫々
0<ε'∈R,∃M'∈N;M'<k⇒d(a_k,a)<ε'
0<ε'∈R,∃M"∈N;M"<h⇒d(b_h,b)<ε'
ところが
d(a,b)≦d(a,a_k)+d(b,b_h)+d(a_k,b_h)
　　　　↑
ここの部分が言えませんよね。

やはり,どのようにdと≦'の関係を定義すればいいのでしょうか?

回答No.2

reiman

有界の定義は順序でやっているが
順序と距離空間の距離との関係が定義されていないので
有界であることを示すことはできないのではないでしょうか？

お礼

順序と距離との関係をどのように定義すればいいでしょうか?
是非お教え下さい。m(＿ ＿)m

回答No.1

uzumakipan

こんにちは。たくさん書かれていますが、質問したいことは

『Cauchy列は有界列である』

ということだけですよね？

以下は証明

Cauchy列の定義から0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m,n（仮にm<nとする）∈N⇒d(c_m,c_n)<ε

三角不等式より

d(c_n,0)<d(c_m,0)+ε

K = max{d(c_1,0),d(c_2,0),…,d(c_{m-1},0),d(c_m,0)+ε}

とおけば、

d(c_n,0)≦K for all n∈N

となりCauchy列は有界列である。

お礼

ご回答誠に有難うございます。

> 三角不等式より
>　d(c_n,0)<d(c_m,0)+ε

今,{c_n}はAでのCauchy列になので0という元は定義されてないのではないでしょうか?

dはA上で定義された距離ですので。d:A×A→R