絶対収束の証明問題を教えて下さいどれかでも良いです

質問

分からなくて困ってます。全部でなくても全然構いません、お願いいたします。
以下の場合、級数Σanは絶対収束するのを示せ、という問題です。
anとa(n+1)は項です。

(1)|an|≦1/(n^x)、x>1
(2)|a(n+1)/an|≦x＜1
(3)|a(n+1)/an|=1-b/n+|c(n)|/n^2、定数b>1、|c|は有界という問題です。
お願いいたします。

回答No.1

jcpmutura

(1)
|a(n)|≦1/n^x、x>1
1≦n-1<t<nの時
1/n^x<1/t^x
だから
1/n^x<∫_{n-1→n}(1/t^x)dt
だからmを自然数とすると
Σ_{n=2→m}1/n^x
<∫_{1→m}(1/t^x)dt
<∫_{1→∞}(1/t^x)dt
=[1/{(1-x)t^(x-1)}]_{1→∞}
=1/(x-1)+lim_{t→∞}1/{(1-x)t^(x-1)}
↓x>1だからlim_{t→∞}1/{(1-x)t^(x-1)}=0だから
=1/(x-1)
だから
|Σ_{n=1～m}a(n)|
≦Σ_{n=1～m}|a(n)|
≦Σ_{n=1～m}1/n^x
<1+1/(x-1)
だから
Σ_{n=1～m}|a(n)|
が収束するから
Σ_{n=1～m}a(n)
は絶対収束する

(2)
|a(n+1)/a(n)|≦x<1
Q(n)=[|a(n)|≦|a(1)|x^{n-1}]
とする
Q(1)=[|a(1)|≦|a(1)|x^{1-1}]は真
ある自然数nに対して
Q(n)=[|a(n)|≦|a(1)|x^{n-1}]
は真と仮定すると
|a(n+1)|≦|a(n)|x≦|a(1)|x^n
だから
Q(n+1)=[|a(n+1)|≦|a(1)|x^n]
も真だから
全自然数nに対して
|a(n)|≦|a(1)|x^{n-1}
が成り立つ

|Σ_{n=1～m}a(n)|
≦Σ_{n=1～m}|a(n)|
≦Σ_{n=1～m}|a(1)|x^{n-1}
<Σ_{n=1～∞}|a(1)|x^{n-1}
↓初項|a(1)|、公比x<1、の等比級数は|a(1)|/(1-x)に収束する
=|a(1)|/(1-x)
だから
Σ_{n=1～m}|a(n)|
が収束するから
Σ_{n=1～m}a(n)
は絶対収束する

(3)
|a(n+1)/a(n)|=1-b/n+|c(n)|/n^2
定数b>1
|c|は有界
b>s>1
とすると
n>1
v(n)=1/(n-1)^s
とするとテーラーの公式から
v(n+1)/v(n)={(n-1)/n}^s={1-(1/n)}^s=1-(s/n)+p(n)/n^2
pは有界
v(n+1)/v(n)-|a(n+1)/a(n)|=(b-s)/n+{p(n)-|c(n)|}/n^2
b-s>0で|p(n)-|c(n)||が有界だから
あるK>0が存在して任意の自然数nに対して
|p(n)-|c(n)||<Kとなる
n_0>K/(b-s)>|p(n)-|c(n)||/(b-s)
となる自然数n_0がある
n>n_0となる任意の自然数nに対して
n>|p(n)-|c(n)||/(b-s)
両辺に(b-s)/n^2をかけると
(b-s)/n>|p(n)-|c(n)||/n^2
両辺から|p(n)-|c(n)||/n^2を引くと
(b-s)/n-|p(n)-|c(n)||/n^2>0
だから
v(n+1)/v(n)-|a(n+1)/a(n)|
=(b-s)/n+{p(n)-|c(n)|}/n^2
≧(b-s)/n-|p(n)-|c(n)||/n^2>0
だから両辺に|a(n+1)/a(n)|を加えると
v(n+1)/v(n)>|a(n+1)/a(n)|
両辺に|a(n)|/v(n+1)をかけると
|a(n)|/v(n)>|a(n+1)|/v(n+1)
|a(n_0+1)|/v(n_0+1)>|a(n_0+2)|/v(n_0+1)>…>|a(n)|/v(n)>…
となる
|a(n_0+1)|/v(n_0+1)=A
とすると
m,n>n_0となる任意の自然数m,nに対して
|a(n)|/v(n)≦A
|a(n)|≦Av(n)
だから
Σ_{n=1→m}|a(n)|
≦Σ_{n=1→n_0}|a(n)|+AΣ_{n=n_0+1→m}v(n)
=Σ_{n=1→n_0}|a(n)|+AΣ_{n=n_0+1→m-1}(1/n^s)
↓(1)から
<Σ_{n=1→n_0}|a(n)|+A{1+1/(s-1)}
だから
Σ_{n=1～m}|a(n)|
が収束するから
Σ_{n=1～m}a(n)
は絶対収束する