収束半径の求め方

質問

y=a0Σn=0～∞（x^n/n!）
上記級数の収束半径を求めよという問題なのですが、
答えが、
r=lim n→∞｜an/an+1｜=lim n→∞（n＋1）=∞
になることはわかっているのですが、
どのような考え方でこのようになるのかわかりません。
教えていただけましたら幸いです。
宜しくお願いいたします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

「収束半径」の意味と #1 の等比級数のイメージがきちんと理解できていれば
「なぜ収束半径を求めるときには、これが逆になってlim n→∞｜an/an+1｜となるかわからない」
ということはないはずです.
等比級数だと思えば収束条件は |an+1x^(n+1) / an x^n| < 1 で, これを満たす x は |x| < |an/an+1| ですね.

お礼

基本的なことが理解不足であったことを痛感します。
わかりやすいご説明、誠にありがとうございました。

回答No.3

stead2009

＃２さんのおっしゃるとおりです。
最初の説明でｘも含めて”比”を考えていることに注意してください。この比が１未満になるように、ｘの範囲を定めましょうって言うのが収束半径なので、逆になっているように感じるのでしょう。

お礼

収束半径の意味が初めて理解できたように思います。
ありがとうございました。

回答No.1

stead2009

厳密な証明ではないですがイメージ的には、
bn=an*x^nの級数を等比級数だとみなすことにすると、問題の式は局所的な比が１より小さくなることを表していると解釈することができます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
しかし、教科書などには、lim n→∞｜an+1/an｜で収束を判定する
方法が載っていますが、なぜ収束半径を求めるときには、
これが逆になってlim n→∞｜an/an+1｜となるかわからないのです。
どうか宜しくお願いいたします。