絶対収束の証明

質問

絶対収束の証明

Σ{n=1→∞} α(n)は絶対収束、σをN(自然数集合)の置換とする。

このとき、Σ{n=1→∞} α(σ(n)) = Σ{n=1→∞} α(n)　を証明せよ。

つまり、絶対収束する場合は項の順番を入れ替えても和の値は変わらないと言うことの証明だと思うのですが、証明の仕方がわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

{ σ(n) | 1≦n≦m } という集合を考えましょう。

σ が置換であれば、任意の M について、それぞれ
{ σ(n) | 1≦n≦M } ⊂ { n | 1≦n≦A } となる A と
{ σ(n) | 1≦n≦M } ⊃ { n | 1≦n≦B } となる B が、
存在します。

よって、数列 |α(n)| の級数について、
Σ[n=1→B] |α(n)| ≦ Σ[n=1→M] |α(σ(n))| ≦ Σ[n=1→A] |α(n)|
が成立します。
各項が非負ですから、項が省かれている和のほうが小さい訳です。

ここで M→∞ の極限をとれば、ハサミウチの定理によって、
Σ[n=1→∞] |α(n)| 収束のとき、Σ[n=1→∞] |α(σ(n))| も収束して
極限も一致することが解ります。

お礼

なるほど。
よく分かりました。ありがとうございます。