収束に関する問題

質問

cを正の実数として、「lim【n→∞】(c^n)/n!=0が成り立つことを前提条件とする
ならば、lim【n→∞】(c/n!)*x^n=0も成り立つ」ということを証明するにはどう
したらいいでしょうか？
cは固定された値だから収束に関係ないと思うんですけど、xはn乗されてるので、n
→∞ならばx^nはxの値によって発散したり収束したり振動したりと、いろいろ変
化するから、この前提条件だけで lim【n→∞】(c/n!)*x^n=0を証明するのは不可
能でしょうか？

回答No.1

ichiro-hot · ベストアンサー

ｃ＞0,lim【n→∞】(c^n)/n!=0が成り立つ:
x≧0ならばlim【n→∞】(c/n!)*x^n=lim【n→∞】｛c*（x^n/n!）｝=０は明らか。
ｘ＜0のとき
　(c/n!)*x^n≦|(c/n!)*x^n|=ｃ*（|x|^n/n!）→０（ｎ→∞）
　∴lim【n→∞】(c/n!)*x^n=０
以上から任意の実数ｘについてlim【n→∞】(c/n!)*x^n=０
じゃあだめなのかな？

いかなるｘについても，ｃ＞|x|が取れて、
|x|^n/n!=（|x|/1）（|ｘ|/2）・・・（|ｘ|/ｎ）≦（ｃ/1）（ｃ/2）・・・（ｃ/ｎ）→０（ｎ→∞）
だから、ｘの値によらず収束する。

※
●　(c^n)/n!の収束性
ｎ0＞ｃになるｎ0がとれて、任意のｎ≧n0に対して（c/ｎ）＜１になることからきている。つまり，
（ｃ/1）（ｃ/2）・・・（ｃ/ｎ）＝（ｃ/1）（ｃ/2）・・・（ｃ/ｎ0）・｛ｃ/（ｎ0＋１）｝・・・｛ｃ/ｎ｝
≦｛（ｃ/1）（ｃ/2）・・・（ｃ/ｎ0）｝｛ｃ/（ｎ0＋１）｝＾（ｎ－n0）
｛（ｃ/1）（ｃ/2）・・・（ｃ/ｎ0）｝は有限の値であり、｛ｃ/（ｎ0＋１）｝，｛ｃ/（ｎ0＋２）｝，・・・＜１であるから、
｛ｃ/（ｎ0＋１）｝・・・｛ｃ/ｎ｝≦｛ｃ/（ｎ0＋１）｝＾（ｎ－n0）→０（ｎ→∞）で一様収束であり、全体の収束が言え、これは『振動』・『発散』をしているわけではない。
　『ｘのとき発散する』場合があるという表現をしているところを見ると、ここをちゃんと抑えていないのでは？と思えますが・・・（ｘ≧０のときはｃをｘで置き換えれば全く同じですね。）
●　ただし、ｘ＞０のときはこれをそのまま使えるが、xが負のとき『符号によって振動』するから、そのことだけを検討しておく必要が有るが、絶対値の収束を考えれば簡単。

お礼

どうもありがとうございます。
lim【n→∞】(c^n)/n!=0についてのご説明もありがとうございました。

回答No.4

arrysthmia

＞ この前提条件だけで lim【n→∞】(c / n !) x^n = 0 を証明するのは
＞ 不可能でしょうか？

不可能も何も、
任意の正数 c について lim【n→∞】(c^n) / n ! = 0
を既知としたら、もう、証明すべきことがほとんど残っていない。

| lim【n→∞】(c / n !) x^n | = c lim【n→∞】|x|^n / n ! だから、
任意の正数を表す文字が c から |x| に変わったダケだ。
前提≒結論 ということ。

両方の式で、同じ c という文字が（異なる用途で）使われているために、
文章表現上、「c = |x| とすれば…」での瞬殺は やりにくいけれども。

この質問では「前提条件」とされている lim【n→∞】(c^n) / n ! = 0 を
証明することは、また別の話だろう。

お礼

ありがとうございます。
参考になりました。

回答No.3

ichiro-hot

＃１です。
●混乱する前に・・・lim【n→∞】(c^n)/n!=0の意味をちょっと考えるだけ。
　次のように置けますね。
　(c^n)/n!=（ｃ・ｃ・・・・・ｃ）/（1・2・・・・ｎ)=（ｃ/1）（ｃ/2）・・・（ｃ/ｎ）
　　　　　　　　↑ｎ個の積
●具体的には
n=1　(c^n)/n!=ｃ＾1/1!=（ｃ/1）
n=2　(c^n)/n!=ｃ＾2/2!=（ｃ/1）（ｃ/2）
・・・・
　ｎが増えるとこの項数が増えていくんですよね。

そして、あるｎ＝n0のところでn0＞ｃ、つまりｃ/ｎ0＜１になるところがある。
n=n0　(c^n)/n!=ｃ＾n0/n0!=（ｃ/1）（ｃ/2）・・・（ｃ/ｎ0）
・・・・（ｃ/1），（ｃ/2），・・・，｛ｃ/（ｎ0-1）｝は１以上の項だが、（ｎ0－１）個の『有限の個数の積』で有るから、有限確定値。最後の項で初めて（ｃ/ｎ0）＜１になる。
これを超えると、後の項は必ず１以下になる。この後は1以下の項数が増える。
ｎ＞n0のとき，
　(c^n)/n!=（ｃ/1）（ｃ/2）・・・（ｃ/ｎ）
　　　　　　=（ｃ/1）（ｃ/2）・・・（ｃ/ｎ0）・｛ｃ/（ｎ0＋１）｝・・・｛ｃ/ｎ｝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑これ以降の｛　｝は常に１以下
ｎ→∞のとき，
　(c^n)/n!→（ｃ/1）（ｃ/2）・・・（ｃ/ｎ）・・・・・・・・・・・・
　　　　　　=（ｃ/1）（ｃ/2）・・・（ｃ/ｎ0）・｛ｃ/（ｎ0＋１）｝・・・｛ｃ/ｎ｝・・・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑これ以降１以下の項の積が無限個続く
だからlim【n→∞】(c^n)/n!=0なんですよね。

|ｘ|=ｃとすれば同じことが言えるわけですから・・・
ｘ＜０のときは確かに振動するから、念のためにちょっと断っておくべきかなということなのですが・・・こだわらなければ最初から絶対値で一気に。。。

回答No.2

Tacosan

確認したいのですが, 証明したいのは
すべての実数 c > 0 に対し「lim【n→∞】(c^n)/n!=0 ならば任意の x に対して lim【n→∞】(c/n!)*x^n=0」
でしょうか? でもこれだとしたら... どうするんだ?

補足

そうです。回答有難うございます。