収束問題

質問

解答と違うのですがどこが違うかわかりません
よろしくお願いします
問題
次の級数の収束・発散を調べ、収束する場合にその和を求めなさい。
Σ[n=1から∞](2^n+1)/3^n
解答　5/2

自分の解答
Σ[n=1から∞](2^n+1)/3^n・・(1)として

(2^n+1)/3^nにおいて((2/3)^n+(1/3)^n)/１となるので n→∞のとき０に収束する。
よって(1)は収束する可能性がある

(1)においてｎまでの和をとると
(2(2^n-1)+n)/(3(3^n-1)/2)=4((2/3)^n-(n/3^n))/3(1-(1/3)^n)・・(2)
n/3^nにおいてn→∞のとき∞/∞より
ロピタルの定理から分子分母をｎで微分して
1/（3^nlog3）
n→∞のとき０
よって(2)はn→∞で０となる

どこが違うのか指摘をお願いします

回答No.3

kabaokaba

>どこが違うのか指摘をお願いします

何もかもすべてちがう．
教科書読み直し．
答えは　2/3 (1-2/3) + 1/3 (1-1/3) = 2 + 1/2 = 5/2
部分和は
2(1-(2/3)^{n-1}) + 1/2 (1-(1/3)^{n-1})
= 5/2 -2(2/3)^{n-1} - 1/2(1/3)^{n-1}

>よって(1)は収束する可能性がある
答案に書く意味なし

>(1)においてｎまでの和をとると
>(2(2^n-1)+n)/(3(3^n-1)/2)=4((2/3)^n-(n/3^n))/3(1-(1/3)^n)・・(2)

いつから，分数の足し算は，
1/3 + 2/5 = 3/8 のようにするようになったんだ？
小学校に戻るかい？

>ロピタルの定理から分子分母をｎで微分して
もうめちゃくちゃ．
関数じゃないのにロピタル？
関数じゃないのに微分？

回答No.2

Ae610

Σ[n=1から∞](2^n+1)/3^n
=Σ[n=1から∞]｛(2/3)^n+(1/3)^n｝

第一項目の級数の和は初項2/3,公比2/3の級数、第二項目の級数の和は初項1/3,公比1/3の級数となる。

これを無限級数の和の公式に当てはめればよい。

回答No.1

koko_u_

>どこが違うのか指摘をお願いします
計算してないけど、部分和の計算がどう考えてもまちがえているし
ロピタルの定理を使うような問題でもないと思う。

そもそも正数の無限和が 0 になるはずもないので、いろいろ再計算して下さい。