減衰していくαnは収束するか証明

質問

αn＝{1/n、　10^k＜n＜10^k+1、1/k、　n=10^k}
（n=1,2,3・・・・）は収束するか？収束するならそれを示せ、と言う問題です。
おそらく、｜αn｜＜εとなったとき収束したとみなせるようなε＞０を
nを用いた値で求め、そんなεを与えられるようなｎの最小値Ｎを
求めるのだと思われるのですが、自分の方針としては
1/nの収束＞1/kの収束、＞1/k-1/nの収束と言う手順なのかと思いますが、
具体的な証明がなかなか出来ません。
他にもいい解き方の方針、解法があったらお願いします。

回答No.2

Mell-Lily

この問題は、数列の極限をεn_0（εδ）論法、すなわち、

『任意の正数εが与えられたとき、それに対応して一つの番号n_0が、
　n>n_0 なるとき |α-a_n|<ε
なるように定められる。』

を用いて定義したとき、つまり、これを
　lim[n→n_0]a_n=α
の定義としたとき、数列
　α_n={k,n∈N(自然数の集合), 10^k<n<10^k+1⇒α_n=1/n, n=10^k⇒α_n=1/k}
の収束、非収束を評価せよ、という問題です。

【解答】
正数εに対して、
　|α_n|<ε ⇔ -ε<α_n<ε
であるが、仮に、
　α_n=1/k, k∈N
ならば、
　-ε<α_n<ε ⇔ -ε<1/k<ε ⇔ -k<1/ε<k ⇔ |1/ε|<k ⇔ 1/ε<k
である。よって、
　n=10^k ⇔ log[10]n=k
とすれば、
　1/ε<k ⇔ 1/ε<log[10]n ⇔ 10^(1/ε)<n.
ゆえに、任意の正数εが与えられたとき、番号n_0を、
　n_0=[10^(1/ε)]+1　（[]はガウス記号）
によって定めれば、
　n>n_0 なるとき |0-a_n|=|α_n|<ε
である。したがって、
　lim[n→∞]α_n=0

回答No.1

oshiete_goo

問題文の記述が意味不明です．
明確な形で問題設定されないと，よほど理解力のある方でない限り回答不能です．
＞10^k＜n＜10^k+1、1/k、　n=10^k
10^k＜n　と　n=10^k　が矛盾していてそんなｎは存在しません．

補足

説明が不十分でした。すいません。
＞αn＝{1/n、　10^k＜n＜10^k+1、1/k、　n=10^k}
＞（n=1,2,3・・・・）は収束するか？収束するならそれを示せ、と言う問題です。

ここで、10^k＜n＜10^k+1はαnが1/nとなるための、n=10^kは1/kとなるための
条件でした。nは1から順次増えていき、それにあわせてkが増えていきます。
nが１＝10^kの時はkは０、よってαnは０です。
nが２の時もkは０、よってαn＝1/2＝1/nとなります。
これがn=9まで続き、n=10となった時にはk=1となり、
αn＝１＝1/kとなります。
n=11となるとαnはまた1/nになり、n=100となるまでその値が続きます。

＞おそらく、｜αn｜＜εとなったとき収束したとみなせるようなε＞０を
＞nを用いた値で求め、そんなεを与えられるようなｎの最小値Ｎを
＞求めるのだと思われるのですが、自分の方針としては

|αn|＜εとなったとき収束したとみなせるようなε＞０を設定し、
これをｎを使った値で表せばよいようです、

説明が下手ですいません。

下にヒントとなった例題を挙げておきます。
an＝１-(1/√n)
an→１
ε＞０、|an-１|＝|1/√n|＝1/(√n)＜ε
1/ε＜√n⇔1/(ε^2)＜n
Nを1/(ε^2)より大きい整数とする
n≧Nのときは
n＞1/(ε^2)となり、
|an-1|＝1/(√n)＜εとなる。