教えてください（数列の収束問題）

質問

結構急いでます
分かる方返事いただけるとうれしいです

（1）任意のR＞0に対して

　　　lim(R^n/n!) = 0
　　 n→∞

　を示せ

（2）任意のR＞0に対して

　　　∞
　　　Σ (R^n/n!)
　　 n=1

　　が収束することを示せ

です。
証明問題なのですが解法が分からなくて困ってます。
特に（2）がわかりません
（1）はロピタルを使えば楽に解けるんですが使わなくても解ける方法あったら教えてほしいです
よろしくおねがいします

回答No.1

noname#24477 · ベストアンサー

Ｒは正の定数。
ｎ→∞だからｎは大きくなります。

ｎはどこかでＲを越えます。
ｎ＞Ｒとなる１つのｎをＮとします。
Ｒ^n/n!＝（Ｒ・・・・Ｒ）/１・２・３・４・・・Ｎ・・・ｎ

Ｎ番目までは有限（定数）だからＣとおいてみる。
それ以降分母分子を１つずつに分けて
分母をＮにおきかえると不等号で抑えられる。

Ｃ*（Ｒ／Ｎ）・・・・（Ｒ／ｎ）＜Ｃ*（Ｒ／Ｎ）＾ｋ
ｋ＝ｎ－Ｎ
ここで０＜Ｒ／Ｎ＜１だからｋ→∞のとき０になります。

（２）は同様に考えれば公比Ｒ／Ｎの等比数列の和で
抑えられる。
増加する和が上に有界ですから収束します。

お礼

返事が遅くなってすいませんでした

なるほど理解しました
Nまでを定数とみなすのがなかなかトリッキーですね
証明方法はいろいろありそうですが納得しました！
ありがとうございます