無限乗積1/2/3*4*5/6/7*…の収束値

質問

以下、Γはガンマ関数です。

以前収束する無限乗積を探していたとき、

1/2/3*4*5/6/7*8*9/10/11*… = Π[n=1...∞] {4n(4n-3)/(4n-2)(4n-1)}

が収束しそうだと思いつき、色々と考えていたところ、収束値は

{Γ(3/4)}^2 / √(2π) = 0.599070117367796…

になるようでした。具体的な計算方法はちょっとここには書ききれず、またその計算方法自体適当でこの値に近づくらしい、という所までしかわかりませんでした(ただしガンマ関数を利用しました)。そもそも無限乗積の収束値の計算方法自体、調べてもなかなかみつかりません。

そこで、Π[n=1...∞] {4n(4n-3)/(4n-2)(4n-1)} = {Γ(3/4)}^2 / √(2π)　について、
左辺の計算方法または等式の証明を教えていただきたいです。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

geshira さんの答で合っています．

Tacosan さんの言われるようにΓ関数の無限乗積表示
(1)　　Γ(z) = lim[{m→∞] {m^z m! / Π[m=0→∞] (m+z)}
を使えばできます．
この式に合わせるために，質問の式で n = m+1 として
(2)　　m{m+(1/4)} / {m+(1/2)}{(m+(3/4)}
を問題にすればよい．
(3)　　m+(1/4) = {[m+(1/4)] / [m^(1/4) m!]} m^(1/4) m!
としますと(他の因子も同様にする)，
{} がちょうど(1)の右辺の形になり(逆数ですけれど)，
おつりの m^(1/4) m! などの因子は m，m+(1/4)，m+(1/2)，m+(3/4) の
４つの因子から来るものでキャンセルします．
したがって，質問の無限乗積は
(4)　　Γ(1/2)Γ(3/4) / Γ(1)Γ(1/4)
になり，
(5)　　Γ(1) = 1
(6)　　Γ(1/2) = √π
(7)　　Γ(1/4)Γ(3/4) = (√2)π
を使えば geshira さんの答
(8)　　Γ(3/4)}^2 / √(2π)
が得られます．
なお，(7)はいわゆる反転公式
(9)　　Γ(z)Γ(1-z) = π/sin(πz)
で z=1/4 とおけば直ちに得られます．

Tacosan さん，以前になにかの質問でご一緒した記憶があります．
批評がましくて何ですが，ばらして
(Πn)[Π(n-3/4)] / {[Π(n-1/2)][Π(n-1/4)]}
としてしまうと，(Πn) などそのものは当然発散してしまいます．

お礼

回答ありがとうございます。
まだ多少引っかかる点がありますが、おそらく私の知識不足もあると思うのでゆっくり考えてみます。

回答No.3

Tacosan

あ～, まぁ, 「単純にバラしちゃダメ」ってのはその通りでございまして＞#2. ガンマ関数の無限乗積表示と比較してなんか気付かないかなぁ～と思って, あんな風に書いてみたのです.

ただ, ガンマ関数の無限乗積表示に持ち込むにしても, 本当は「無限乗積が収束する」だけでは不十分だと思うのですよ. 「組替えて計算しても同じ結果になる」ことがなんらかの理由で保証されていることにも言及すべきではないかなと....

回答No.1

Tacosan

ちと調べてみると Wikipedia に「ガンマ関数の無限乗積による定義」があるんだけど, これでなんとかなりませんか?

Π[n=1...∞] {4n(4n-3)/(4n-2)(4n-1)} = Π [n(n-3/4)/(n-1/2)(n-1/4)] で, この無限乗積そのものは絶対収束しますから全部ばらして
(Πn)[Π(n-3/4)] / {[Π(n-1/2)][Π(n-1/4)]}
とできるんではなかろうかと.

お礼

回答ありがとうございます。
なるほど、ワイエルシュトラスの乗積表示が使えるとは