積分が収束する証明

質問

xを変数とする関数 関数 sin(x^2) を　x で　０から無限大まで
積分するとその値は収束すると思います。（^2 は二乗の意味）
収束値は問いませんので、収束することを証明したいのですが
難しいです。どなたか証明して頂けないでしょうか。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

∫[0≦x] sin(x^2) dx = ∫ [0≦x≦(2π)^(1/2)] sin(x^2) dx + ∫ [(2π)^(1/2) ≦x] sin(x^2) dx と、後の都合上分けておく。最初の部分はとにかく何かの有限の値なので、収束するかの判断には影響しない。
後半の ∫[(2π)^(1/2)≦x] sin(x^2) dx について、このままではやりづらいので x^2 = t -> 2xdx = dt -> dx = (1/2) t^(^1/2) dt として変形すると、
∫[(2π)^(1/2)≦x] sin(x^2) dx = (1/2) ∫ [2π≦t] (sin(t)) / (√t) dt

先ず、(1/2) ∫ [2π≦t] (sin(t)) / (√t) dt
= (1/2)Σ [1≦n] ( ∫ [2nπ ≦ t ≦ (2n+1)π ] (sin(t)) / (√t) dt + ∫ [(2n + 1) π ≦ t ≦ (2n+2)π ] (sin(t)) / (√t) dt
= (1/2)Σ [1≦n] ( ∫ [2nπ ≦ t ≦ (2n+1)π ] ( sin(t) * ( ( 1/√t ) - (1/ √ (t+π) ) ) dt )
は、正となり、nの和に関して単調に増加する。

一方、(1/2) ∫ [2π≦t] (sin(t)) / (√t) dt
= (1/2)Σ [1≦n] ( ∫ [2nπ ≦ t ≦ (2n+1)π ] (sin(t)) / (√t) dt + ∫ [(2n + 1) π ≦ t ≦ (2n+2)π ] (sin(t)) / (√t) dt
≦ (1/2)Σ [1≦n] ( ∫ [2nπ ≦ t ≦ (2n+1)π ] ( (sin(t)) /√ (2nπ) )dt + ∫ [(2n + 1) π ≦ t ≦ (2n+2)π ] ( (sin(t)) / √ ((2n+2)π) )dt )
= Σ [1≦n] (1/√π) (1/√(2n) - 1/√(2n + 2)) = 1/√(2π)

であるから、 (1/2) ∫ [2π≦t] (sin(t)) / (√t) dtは上から押さえられる。

お礼

ありがとうございました。
これ、またはこれに沿った方法で収束が証明できることが解り
本当に助かりました。
久しぶりの投稿ですがＯｋＷａｖｅはすばらしいと思います。

補足

ありがとうございます
じっくり読ませていただいた上で、改めてお礼させて頂きます

回答No.2

gamma1854

f(z)=e^(i*z^2) を、複素数平面上で、A(R), B(R*e^(pi*i/4)), (R>0)として、
円弧ABおよび２つの線分OA, OB を半径とする扇形に沿って積分することにより、
∫[0~∞]sin(x^2)dx=∫[0~∞]cos(x^2)dx=(1/2)*√(pi/2). を得ます。
※計算の詳細は書きません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
私の知識を超えているので、なぜこれでよいのか理解できませんが
このような方法で出来るなら、収束証明にとどまらず、収束値まで
もとまるので、すごいと思います。