積分計算の矛盾

質問

y=x^(-1/2)の関数なのですが、
この関数をx=0からx=n（n>0とする）まで積分すると
結果は2√nになるかと思いますが
グラフを書いて面積を考えると、無限大に発散する気がします。
しかし計算上は収束します。
これは一体どう理解したらよろしいのでしょうか？

回答No.9

koko_u_u

>lim(t→+∞)∫[c,t]x^(-1/2)dx
>は発散するかと思いますが、面積を示すことができます。
>つまり定義できているのではないでしょうか？

「面積」とは何かを数学では非常にデリケートに取り扱いますが、
高等学校程度の知識であれば、「積分値が発散する、ということは面積は定まらない」と考えればよいでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.8

noname#185706

２番目の＃４です（＃４が二人いますね）。

>lim(t→0)∫[t,n]x^(-1/2)dx　も　lim(t→+∞)∫[c,+∞]x^(-1/2)dx
>も同じような面積を表すのに収束と発散で異なります。
>これはどうして何でしょうか？

同じように見えるかもしれませんが、同じではありません。
＃４（2番目）に書きましたが、
∫[0,n]x^(-1/2)dx
の収束性は
∫[c,∞]y^(-2)dy　（cは適当な正の値）
のそれと同じですが、後者の積分は変数を形式的に変えると
∫[c,∞]x^(-2)dx　（cは適当な正の値）
です。この積分は
∫[c,∞]x^(-1/2)dx
とは被積分関数の形が異なり、
x → ∞ で x^(-2) の方が x^(-1/2) より早く → 0 になります。
よって、二つの積分は収束／発散が異なってよいのです。

∫[c,∞]f(x)dx
において f(x) が x → ∞ でどれくらい早く 0 に収束すれば積分が有限の値を持つかは＃３さんが書かれた無限級数の収束性の問題であって、それを論じるには大学初年級の数学が必要です。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.7

w0col

見るの遅れました。

まず最初の質問で
「Xを0からnに」というのはその式ではありえないと思います。

X^(-1/2)なので、根号の中、Xが分母であるという事から、Xに0は入れられません。

よってXは0以外の正の数からとなり、nが定数であれば面積が求められます。

収束するといったのは、グラフの形のことで、Xを∞にすれば、Yは０に収束しますよね？

そして補足で聞かれた事に関して質問なのですが、
この式での積分で範囲が
+∞までの面積を求める問題に出くわしたのですか？それとも自分で考えてみただけですか？

そこをまず教えてください。

お礼

＞「Xを0からnに」というのはその式ではありえないと思います。
実際には
lim(t→0)∫[t,n]x^(-1/2)dx
と書くべきでしたが、広義積分という事をしたの方が言っておりましたのでそう書いたわけですが、実際は上記のような式を意図して考えておりました。

＞+∞までの面積を求める問題に出くわしたのですか？それとも自分で考えてみただけですか？

自分で考えました。

回答No.6

w0col

それは単純に、描いているグラフが異なるからです。
その積分では2√nに答えはなりますが、求めている面積のグラフは2√nのグラフではなく、Y=X^(-I/2)のグラフだからです。

多分Y=2√nのグラフを描いていませんか？

結果、Y=X^(-1/2)のグラフはXを無限大に持ってくと０に収束していきますよ。

お礼

∫[0,n]x^(-1/2)dx
を表す面積は、y軸、x軸、x=n,y=x^(-1/2)で囲まれた
部分の面積ですね。グラフを書くと、ｘが０に近づくほど
面積が永久に上に伸びていきますから、 面積は発散するのでは？
と思ったのですが、確かにn→0の時は2√n→0となりますから、
グラフ上の面積も同様に0に近づき矛盾しないこともわかります。

ここで今思ったのですが、
∫[c,+∞]x^(-1/2)dx
を表す面積はx=c,x軸,y=x^(-1/2)で囲まれた面積ですね。
計算すると2√∞-2√cとなり、発散します。

∫[0,n]x^(-1/2)dx　も　∫[c,+∞]x^(-1/2)dx
も同じような面積を表すのに収束と発散で異なります。
これは何故でしょうか？

回答No.5

noname#185706

∫[c,∞]x^(-2)dx (c>0)
が有限の値を持つことは理解できますか？
もしできるのなら、x についての積分を y についての積分に変えることによって、くだんの積分も理解できます。

y = x^(-1/2)
から
x = y^(-2)。
よって
∫[0,n]x^(-1/2)dx　(n>0)
が有限であるかどうかは
∫[c,∞]y^(-2)dy　（cは適当な正の値）
が有限であるかどうかと同じ。
（グラフを描いて面積を考えてください。）

お礼

>∫[c,∞]x^(-2)dx (c>0)が有限の値を持つことは理解できますか？

はい、なんとかできます。

しかし同じ質問を上の方にもしましたが
lim(t→0)∫[t,n]x^(-1/2)dx　も　lim(t→+∞)∫[c,+∞]x^(-1/2)dx
も同じような面積を表すのに収束と発散で異なります。

これはどうして何でしょうか？

回答No.4

Tacosan

数学上, 値が定義されているかどうかは別として
∫x^(-1/2)dx 　積分区間は[0,n]
のように「書く」ことは可能です. 「広義積分」といわれるようなやつですね.

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.3

nag0720

＞グラフを書いて面積を考えると、無限大に発散する気がします。

気がするだけですよね。

級数で考えると、
Σ[n=1・・・∞]1/2^n=1/2+1/4+1/8+1/16+・・・・
Σ[n=1・・・∞]1/n^2=1/1+1/4+1/9+1/16+・・・・
これらの級数が発散する気がすると言っているのと同じです。

無限級数が収束する場合があることは理解していますか？

積分も同様で、領域が有限でなくても面積は有限になる場合があることを理解しましょう。

お礼

すみません。高校数学の知識しかないもので・・・
なるほど無限等比級数などでは確かに収束する場合がありました。

すると以下のような書き方はしてもよいでしょうか？
∫x^(-1/2)dx 　積分区間は[0,n]
x=0では関数の値が定義できませんが、∫のところの下の積分区間に0と書きこんでも数学のルール上はかまわないでしょうか？

回答No.2

sanori

？！

その考えでいくと、
ｙ＝１　も発散、　ｙ＝ｘ　も発散です。

ｎ⇒∞　の極限ならば、当然発散しますが、
０からｎまでの定積分だから発散しません。

・・・ということでよろしいのでしょうか。

お礼

＞ｙ＝１　も発散、　ｙ＝ｘ　も発散です。
？？ちょっとよくわかりません。
これらの関数を[0,n]で積分したら収束ですよね？
（nは定数としますから）

回答No.1

koko_u_u

>これは一体どう理解したらよろしいのでしょうか？

計算上収束するので、この時初めてグラフで見た絵の「面積」が定義できた。

と理解すればよいでしょう。

お礼

上の方にも同じ質問をしましたが、
lim(t→+∞)∫[c,t]x^(-1/2)dx
は発散するかと思いますが、面積を示すことができます。
つまり定義できているのではないでしょうか？

あとNo.４で書いた
lim(t→+∞)∫[c,+∞]x^(-1/2)dxは間違いでした。すみません。
lim(t→+∞)∫[c,t]x^(-1/2)dxとすべきでした。