Lebesgue積分の問題

質問

lim_{n→∞}∫_{0}^{n}x^k(1-(x/n))^n dx (kは自然数，{0}^{n}は積分範囲です。)
という問題で，積分範囲からnを消して，Lebesgueの収束定理を用いて解くと
考えたのですが，y=x/nと置換するとf_n(y)=n^{k+1}y^k(1-y)^nとなり，
|f_n|≦φとなるφが見つけられません。ほかにもいくつか積分範囲からnが消えるように
置換してみたのですが，収束定理が使えるような関数が見つかりません。
別のやり方でやるか，上手くf_nが抑えられるように置換できるものがあるのでしょうか？
どなたか解説お願いします。

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

f_n(y)=n^{k+1}y^k(1-y)^nの積分のn→∞を計算する代わりに、積分と極限の順序を変更してn→∞の後に積分を計算しようという腹積もりのように理解しました。

直感的に言うと、この順序交換は、不可のように思います。0≦y≦1の範囲で、n→∞のときf_n(y)は0に収束します。したがって、極限を取った後の積分は0にしかなりません。

２通りの計算方法が考えられます。

（方法１）２重極限に直す

積分範囲と被積分関数の両方にnが出てきて気持ちが悪いから積分範囲のほうのnを消そうというのが質問者様の発想だと思いますが、逆に、積分範囲のnを別の記号tに置き換える手もあります。

　　lim_{n→∞}∫_{0}^{n}x^k(1-(x/n))^n dx
　　=lim_{n→∞,t→∞}∫_{0}^{t}x^k(1-(x/n))^n dx
　　= lim_{ t→∞}∫_{0}^{t} lim_{n→∞}x^k(1-(x/n))^n dx
　　= lim_{ t→∞}∫_{0}^{t} x^k・exp(-x) dx
　　=∫_{0}^{∞} x^k・exp(-x) dx

このような変形を正当化するには、n→∞、t→∞の２重極限が存在することを証明しなければなりません。このことは、

　　{n→∞} (1-(x/n))^n= exp(-x)

の収束がx>0の範囲で一様収束であることから言えそうです（きちんと確認したわけでありませんが）。

なお、お気づきかと思いますが、上の変形の最後の式は、ガンマ関数Γ(k+1)の定義式です。

（方法2） 直接f_n(y)を積分する