広義重積分の問題の解答について
- Ω上で、x / (1 - x - y)^(1/2)の広義重積分を求めます。
- 増加列Ωnを用いて、重積分を計算する方法を考えましたが、発散してしまいます。
- 解答を詳しく示し、何が間違っているのか教えてください。
- ベストアンサー
広義重積分の問題
Ω＝{ (x , y) | 0 ≦ x , 0≦ y , x + y < 1} とします。 Ω上で ∬ （ x / （1 - x - y）^(1/2) ） dxdy を求めよ。 という問題です。 増加列として Ωn = { (x , y) | 0 ≦ x , 0≦ y , x + y ≦ 1 / n } をとり、Ωｎで重積分したあとに ｎ → 1 とすればよいと思ったのですが… 計算してみると添付画像のようになり、分母が０に近づくので発散してしまいます。 一応ここにも式で書いておきます。 積分範囲は 0 ≦ x ≦1/n , 0≦ y ≦-x + 1/n です。 ∬ （ x / （1 - x - y）^(1/2) ） dxdy ＝∫x dx ∫ {1 / （1 - x - y）^(1/2) } ｄｙ ＝∫x [ (2/3) (1 - x - y )^(-3/2) ] dx ＝（2/3） (∫{ 1 / (1 - 1/n )^(3/2) } dx - ∫{ x / (1 - x )^(3/2) } dx ) ＝ (1/3) ・（1 / (1 - 1/n )^(3/2) ）・(1/n^2) - （2/3）∫{ x / (1 - x )^(3/2) } dx （ √(1-x) = t と置く。 1≦t≦√(1-1/n) ) ＝ (1/3) ・（1 / (1 - 1/n )^(3/2) ）・(1/n^2) - （2/3）∫((1-t^2)/t^3 ) ・(-2t) dt ＝ (1/3) ・（1 / (1 - 1/n )^(3/2) ）・(1/n^2) - （2/3） [ 2t + (2/3) t^(-3)] ＝ (1/3) ・（1 / (1 - 1/n )^(3/2) ）・(1/n^2) - （2/3）{2√(1-1/n) + 2/3(1-1/n)^(3/2) - 8/3} ＝ (1/3) ・（1 / (1 - 1/n )^(3/2) ）・(1/n^2) - （4/3）√(1-1/n) - 4/9 (1-1/n)^(3/2) + 16/9 私の解答はどこで間違っているのでしょうか？ 回答よろしくお願いします。
- tumftmk
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>増加列として >Ωn = { (x , y) | 0 ≦ x , 0≦ y , x + y ≦ 1 / n } >をとり、Ωｎで重積分したあとに ｎ → 1 とすればよいと思ったのですが… これでは何の為の1/n置き換えか分かりません。n→1-0だったら未定義を含んでしまいませんか？ 「x+y≦1/n,n→1」の代わりに「x+y≦1-(1/n).n→∞」ならまだ意味がわかりますが… >計算してみると添付画像のようになり、分母が０に近づくので発散してしまいます。 計算の２行目から３行目に移る所が間違っています。 >＝∫[0→1] x dx ∫[0→1-x] {1/(1-x-y)^(1/2)}ｄｙ >＝∫[0→1] x [(2/3)(1-x-y)^(-3/2)] dx ← 間違い 正：∫[0→1] x [ 2(1-x)^(1/2)] dx なので以降のあなたの積分はダメ。 ∫[0→1] x [ 2(1-x)^(1/2)] dx =[2{(2(1-x)^(5/2))/5-(2(1-x)^(3/2))/3] [0→1] =8/15 厳密には例えば lim(n→∞)∫[0→1] x dx ∫[0→1-(1/n)-x] {1/(1-x-y)^(1/2)}dy =lim(n→∞)∫[0→1] x {2√(1-x)-2√(1/n)}dx =∫[0→1] x [ 2(1-x)^(1/2)] dx =[2{(2(1-x)^(5/2))/5-(2(1-x)^(3/2))/3] [0→1] =8/15 とでもすれば広義積分としてクリアできるでしょう。
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- alice_44
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だから、前回質問で回答されたとおりじゃないの？ http://okwave.jp/qa/q7631721.html ∫{ 1/x^(1/2) }dx = 2 x^(1/2) ≠ (2/3)x^(-3/2). 1/n がどうこうの所まで、いかないうちに間違えてる。
お礼
確かにそうですね… すごく初歩的な間違いでした。 回答ありがとうございました。
- marsha110
- ベストアンサー率55% (5/9)
Ωn = { (x , y) | 0 ≦ x , 0≦ y , x + y ≦ 1-(1 / n) } をとり、 Sn = ∬Ωn（ x / （1 - x - y）^(1/2) ） dxdy を計算して、n->∞ のときのSnの値が、Ω上での広義積分の値になります。 計算過程は省略しますが、1/nの項が効いて、その項は0に収束します。 答えは、8/15になります（計算ミスの可能性もあり）。
お礼
最初のほうで間違っていました。 やり直したらちゃんとできました。 回答ありがとうございました。
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