広義重積分の問題が解けません

質問

Arctan(x/y)を第１象限の四半球（半径a）上（集合Kとする）において積分したいのですが、答えまでたどり着きません。
分かる方、教えてください。
以下、途中まで計算してみたところです。
間違ったところがあればあわせて教えていただければ幸いです。

広義積分と考えて解く。
Arctan(x/y)はK上正なので、Kに収束するある集合列｛Km｝について極限を求める。
Km={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦a^2,x≧1/m,y≧1/m}とする。
　∬Arctan(x/y)dxdy
=∫(1/m～√(a^2-(1/m)^2))dy∫(1/m～√(a^2-y^2)) Arctan(x/y)dx

dxの部分を積分すると（以下明らかな部分は区間省略）
　∫Arctan(x/y)dx
=[xArctan(x/y)-(1/2)log(1+(x/y)^2)]
=√(a^2-y^2)Arctan(√(a^2-y^2)/y)-(1/2)log(a^2/y^2)-(1/m)Arctan(1/(my))-(1/2)log(1+1/(my)^2)

この結果を1つずつyで積分する。
(1)∫√(a^2-y^2)Arctan(√(a^2-y^2)/y)dy
(2)∫-(1/2)log(a^2/y^2)dy
(3)∫-(1/m)Arctan(1/(my))dy
(4)∫-(1/2)log(1+1/(my)^2)dy

(2)=-∫log(a/y)dy
　=∫(logy-loga)dy
　=[ylogy-y-yloga]
　=略
(3)=-(1/m)∫Arctan(1/(my))dy
　=-(1/m)∫(π/2-Arctan(my))dy
　=[-(π/2m)y+myArctan(my)-(1/2m)log(1+(my)^2)]
　=略

(1)と(4)はまったく分かりません。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

>Km={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦a^2,x≧1/m,y≧1/m}とする。
x=0の所でも被積分関数は普通に定義されているので、x=0の部分を除外する必要はないのでは？

(1)に関しては、y=acosθとかで置換すれば計算できると思います。
(4)に関しては、具体的に積分が計算できるかどうかは分かりませんが、m→∞の極限でゼロになることが示せます。(というか、最初から0≦x≦√(a^2-y^2)の範囲で積分しておけば、(3),(4)の項は出てこなかった)

でも、極座標に直してから積分した方が遥かに楽でしょう。(普通の極座標よりも、x=rsinθ,y=rcosθとした方がちょっとだけ楽？)

お礼

回答ありがとうございます。
極座標変換を行ったところ、とても簡単にできました。