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広義重積分の問題
Ω={ (x , y) | 0 ≦ x , 0≦ y , x + y < 1} とします。 Ω上で ∬ ( x / (1 - x - y)^(1/2) ) dxdy を求めよ。 という問題です。 増加列として Ωn = { (x , y) | 0 ≦ x , 0≦ y , x + y < 1 / n } をとり、Ωnで重積分したあとに n → 1 とすればよいと思ったのですが… 計算してみると添付画像のようになり、分母が0に近づくので発散してしまいます。 私の解答はどこで間違っているのでしょうか? 回答よろしくお願いします。
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細かいところが読み取れないのですが, なんとなく最初の積分が間違ってる感じ.
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Ω={ (x , y) | 0 ≦ x , 0≦ y , x + y < 1} とします。 Ω上で ∬ ( x / (1 - x - y)^(1/2) ) dxdy を求めよ。 という問題です。 増加列として Ωn = { (x , y) | 0 ≦ x , 0≦ y , x + y ≦ 1 / n } をとり、Ωnで重積分したあとに n → 1 とすればよいと思ったのですが… 計算してみると添付画像のようになり、分母が0に近づくので発散してしまいます。 一応ここにも式で書いておきます。 積分範囲は 0 ≦ x ≦1/n , 0≦ y ≦-x + 1/n です。 ∬ ( x / (1 - x - y)^(1/2) ) dxdy =∫x dx ∫ {1 / (1 - x - y)^(1/2) } dy =∫x [ (2/3) (1 - x - y )^(-3/2) ] dx =(2/3) (∫{ 1 / (1 - 1/n )^(3/2) } dx - ∫{ x / (1 - x )^(3/2) } dx ) = (1/3) ・(1 / (1 - 1/n )^(3/2) )・(1/n^2) - (2/3)∫{ x / (1 - x )^(3/2) } dx ( √(1-x) = t と置く。 1≦t≦√(1-1/n) ) = (1/3) ・(1 / (1 - 1/n )^(3/2) )・(1/n^2) - (2/3)∫((1-t^2)/t^3 ) ・(-2t) dt = (1/3) ・(1 / (1 - 1/n )^(3/2) )・(1/n^2) - (2/3) [ 2t + (2/3) t^(-3)] = (1/3) ・(1 / (1 - 1/n )^(3/2) )・(1/n^2) - (2/3){2√(1-1/n) + 2/3(1-1/n)^(3/2) - 8/3} = (1/3) ・(1 / (1 - 1/n )^(3/2) )・(1/n^2) - (4/3)√(1-1/n) - 4/9 (1-1/n)^(3/2) + 16/9 私の解答はどこで間違っているのでしょうか? 回答よろしくお願いします。
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お礼
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