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積分範囲－∞→∞の積分の発散についてです。
「∫(x/1+x^2)dx 積分範囲－∞→∞ が、発散することを確かめよ。」 という問題なのですが、何度計算をしても０に収束してしまいます。 そもそも関数が奇関数なので０に収束するので間違いないと思うのですが…教科書に載っているの問題なのですが解答は「∫(x/1+x^2)dx 積分範囲０→∞ ＝∞より∫(x/1+x^2)dx 積分範囲－∞→∞は発散」となっています。どういうことなのですか？
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積分範囲を「-a～a」にしてませんか？ 一般的に広義積分は「a～b」の積分値の極限「a→-∞、b→∞」として定義されます。
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- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
つまるところ定積分の値が -∞ + ∞ となるから「収束しない」ということではないかな?
お礼
排反的な考え方ですね！それならしっくりきました！ありがとうございます。
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
>そもそも関数が奇関数なので０に収束するので間違いないと思うのですが… 同じペースで +∞ と -∞ の両方向に積分範囲を広げても「収束する」とは言えません。 +∞ 方向の積分と -∞ 方向の積分が「各々個別に」収束するときに初めて、-∞ ～ +∞ の範囲の積分が「収束する」と言います。
お礼
早速の回答ありがとうございます！ 私にはその発想がありませんでした…
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- 数学・算数
補足
ringohatimituさんのおっしゃるとおりです。積分範囲を「-a～a」にしていました。恥ずかしながら広義積分の定義を理解していなかったようです。 ただ、私も積分範囲を－∞→０、０→∞に分けて計算をしてみたのですが、結果は与式＝－∞＋∞となり、発散することを確かめられませんでした。教科書の解答では先に述べたようになっているのですが、教科書の解答の意図がわかりません。なぜあの解答によって与式が発散すると言えるのですか？