間違った計算方法の指摘と正しい計算方法
- 積分範囲の移動において、間違った計算方法を使用しました。正しい計算方法を説明します。
- 間違った計算方法では、誤った範囲で積分を行いました。正しい範囲で積分することで正確な結果が得られます。
- 正しい計算方法では、変数変換を行い、正しい範囲で積分を行います。これにより、適切な結果が得られます。
- ベストアンサー
積分範囲の移動
∫(2/3→2)(3x-2)(2-x)dx 、積分する範囲は2/3から2です。この定積分を下端が0になるようにしてから計算する際、間違った計算方法の、間違いを指摘していただく質問します。 間違った計算方法は、3x-2=Xと置いてx=(1/3)(X+2) 、2/3≦(1/3)(X+2)≦2より0≦X≦4 x=(1/3)(X+2)を(2-x)に代入して、∫(2/3→2)(3x-2)(2-x)dxを ∫(0→4)X{-(1/3)x+4/3}dXとするのは間違いでした。計算結果は32/9。 正しい計算方法は、3∫(2/3→2)(x-2/3)(2-x)dxとし、x-2/3=Xとおいて、x=X+2/3、上記と同様に計算して、0≦X≦4/3、∫(2/3→2)(3x-2)(2-x)dx＝3∫(0→4/3)X(4/3-X)dXとする計算でした。計算結果は32/27。 間違った計算は、どこで間違えたのか教えてください。お願いします。
- situmonn9876
- お礼率91% (646/703)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
置換積分において、dxもdXに変換しなければなりません。 この場合、3x-2=X ですから、3*dx=dX です。 I=∫[0~4]X*{2 - (2+X)/3}*(dX/3)=32/27.
関連するQ&A
- 置換積分の積分範囲について
置換積分をする場合、積分範囲を求めるときは、ｘの値を代入して求めるとありますが、cosθに すると積分範囲を決めることができません。 ∫√(r^2-x^2)dx 積分範囲 -r≦x≦r でx=rsinθと置くと、積分範囲は、x=-rの時θ=-π/2、 x=rの時θ=π/2となる。 ここで、x=rcosθと置くと、積分範囲は、x=-rの時θ= -π、x=rの時θ=0となる。すなわち、 ∫√(r^2-x^2)dx 積分範囲 -r≦x≦r でx=rcosθと置くと積分範囲 -π≦θ≦0 となり、これで 計算すと、-π r^2/2となりマイナスとなってしまう。 ここで、積分範囲をπ≧θ≧0 とすると計算結果はプラスとなります。 なぜ、π→０となるのか、積分範囲の求め方を教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 積分範囲－∞→∞の積分の発散についてです。
「∫(x/1+x^2)dx 積分範囲－∞→∞ が、発散することを確かめよ。」 という問題なのですが、何度計算をしても０に収束してしまいます。 そもそも関数が奇関数なので０に収束するので間違いないと思うのですが…教科書に載っているの問題なのですが解答は「∫(x/1+x^2)dx 積分範囲０→∞ ＝∞より∫(x/1+x^2)dx 積分範囲－∞→∞は発散」となっています。どういうことなのですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分時の積分範囲
現在、「積分」の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。 問題は ∫（ｘ：0→1）１／{（ｘ―1／２）^2+3/4}ｄｘ を求めよです。 解答はｘ－１／２＝（√３／２）tanθ と置換し、積分範囲は、－π／６→π／６ となっています。 が、私は、５／６π→π／６ と置換しましたが、解答だと結果２√３π／9となりますが、 私の方法だと、－４√３π/９となります。 何度も計算したのですが、同じです。 私の置換方法はやはり間違っていますか？なぜ間違いなのでしょうか。 tanθ＝－１／√３のとき、θは、５π／６にもなると思うのですが。うか？ 私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分区間と積分するもの、具体的な計算
F=∫x dx （0～2まで積分） があったとします。 これを F=∫lnx d(lnx)としたとき積分範囲は(0～2)のままなのでしょうか？ また、この2式は同じこと（どちらも値がF）を表しているようなのですが、なぜそうなるのでしょうか？ 次に具体的な計算について質問ですが Ｆ＝[1/{√(2π)*ln2}] *∫(積分区間0～x) exp[-(lnx-ln1)^2/2*(ln2)^2] d(lnx) この計算はどうするのでしょうか？ 積分区間0～xについては、ｘ＝0.4で計算お願いします。 ちなみに上の式は、元の式で与えられてる値は代入したもので、もとの式の形をわかって頂くために、あえて値を代入しただけで計算してまとめておりません。
- 締切済み
- 数学・算数
- 定積分∫[1/√3→1]√(1-x^2)dx が解けません。
∫[1/√3→1]√(1-x^2)dx を解く問題なのですが、公式に当てはめて、 ∫√(1-x^2)dx = 1/2*(x√(1-x^2)+arcsinx) これに積分範囲の[1/√3→1]を代入したのですが、arcsin(1/√3)が計算できませんでした。 答えは (π-2)/6 となるみたいなのですが、電卓等を使わずに計算できるのでしょうか。どなたか教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 原点を中心としない円の積分範囲について
原点を中心としない円の積分範囲の扱いが分かりません。 お手数をお掛けいたしますが、以下の考えのミスをご指摘下さい。 ∬(x-1)dxdy 積分範囲：x^2-2x+y^2≦0 , x≧0 先ず、(x-1)^2+y^2≦1として、積分範囲はx=1を中心とした半径1の円になります。これでx≧0 は満たされると思います。 又、x=1を中心とした半径1の円なので、0≦x≦2 , -1≦y≦1です。 ∫[0 2]dx∫[-1 1] (x-1)dyを計算しますと、2∫[0 2](x-1)dx=0になりますが、間違っている気がします・・・
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 置換積分x=asinθと置く、θの範囲
積分の区間とθの範囲の対応がわからないので質問します。 ∫(0→pa)dx/√(a^2-x^2)=α 積分区間は0からpaで、a>0,0<p≦1で、αはsinα=p(0<α≦π/2)の角。と本に載っていたのですが、この定積分の証明でわからないことがあります。x=asinθ(-π/2<θ<π/2・・・(ア))と置くと書かれているのですが、θが-π/2とπ/2をとると、√(a^2-x^2)=√(a^2-a^2)=0で被積分関数が定義できないので、-π/2<θ<π/2になっていると思うのですが、自分は、積分区間を置き換えるとき、0≦x≦pa,0≦asinθ≦pa,0≦sinθ≦p,0≦θ≦α・・・（イ）とし、本には∫(0→α)(1/acosθ)*acosθdθ=∫(0→α)dθ=αと書かれています。本では、p=1の時α=π/2より、∫(0→a)dx/√(a^2-x^2)=π/2と書かれていました。自分は(ア)よりθがπ/2をとれないので、(イ)でもαにπ/2を代入できないと考えてしまいました。そして∫(0→a)dx/√(a^2-x^2)=π/2が疑問となりました。どなたか自分の考えの間違いを指摘し、本の証明が正しいことを教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
置換積分だとは、気付かなったです。ご指摘ありがとうございます。