積分時の積分範囲

質問

現在、「積分」の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

問題は
∫（ｘ：0→1）１／{（ｘ―1／２）^2+3/4}ｄｘ
を求めよです。

解答はｘ－１／２＝（√３／２）tanθ
と置換し、積分範囲は、－π／６→π／６
となっています。

が、私は、５／６π→π／６
と置換しましたが、解答だと結果２√３π／9となりますが、
私の方法だと、－４√３π/９となります。
何度も計算したのですが、同じです。
私の置換方法はやはり間違っていますか？なぜ間違いなのでしょうか。
tanθ＝－１／√３のとき、θは、５π／６にもなると思うのですが。うか？

私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

これはたまにやってしまうミスですね。
tan(x)は、x=π/2のところで、±∞になりますね。

x =1/2 +（√3/2）tanθ
と置換したわけですが、
置換後のθの範囲は、xがきちんと0→1と動くようにとらないといけません。

goodoさんのように、θを5/6π→1/6πって取ってしまうと、xは、0→-∞、+∞→1 というとんでもない道筋をとってしまいます。

お礼

rabbit_catさま、ご解答ありがとうございました。なるほどtanθはπ／２で定義されないのでした。いままで置換の際にそこまで考えずにやっていました。これからは気をつけたいと思います。ありがとうございました。

回答No.2

jupi-tor

θの範囲を０≦θ≦πとしていませんか？
tanθはθ=π/2で定義されず、±∞に発散するため定義域に問題があります。
-π/2＜θ＜π/2のように連続する領域にθを取る必要があります。
定義域を0→5π/6としたのでしょうが、
0→-π/6が正解です。

お礼

jupi-torさま、御回答ありがとうございました。
tanθはπ／２が積分範囲に入らないようにしないといけないのですね。なにも考えずに置換していました。これからは気をつけたいと思います。ありがとうございました。