積分の問題について

質問

この問題をtanなどの置換を使わずに、部分分数などに変形させて
積分したいのですがやり方が分からず、困っています。。
詳しく教えていただけると嬉しいです。。

∫ x^2/(1+x^2)^2 dx

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

∫ x^2/(1+x^2)^2 dx =∫ (x/2)[2x/(1+x^2)^2] dx

f=x/2, g'=2x/(1+x^2)^2として、部分積分を使う。

∫fg'dx=fg-∫f'gdx

g=∫g'dx=∫2x/(1+x^2)^2dx=-1/(1+x^2) これは右辺を微分すればわかる。

以上より

∫ x^2/(1+x^2)^2 dx =-x/2(x^2+1)+(1/2)∫dx/(1+x^2)+C=-x/2(x^2+1)+(1/2)arctanx+C

=(1/2)[arctanx-x/(x^2+1)]+C

置換積分を使わないなら

∫dx/(1+x^2)＝arctanx+C

は記憶しておく必要がある。