積分の問題が解けない！

質問

ひとつ積分の問題で質問させてください。

∫{（x^4*e^x）/(e^x－1)^2}dx（積分範囲は0→Θ/T）
という問題で、TはT→∞としたときの解を求める問題です。

置換積分や、部分積分をつかって解いていくのでしょうか。
出だしからつまづいて、手が出ません

よろしくお願いします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

Debye の T^3 比熱の話ですね．
要するに
(1)　　∫{0→∞} {（x^4*e^x）/(e^x－1)^2}dx
という定積分を求めたい．

(2)　　e^x/(e^x-1)^2
　　　　= e^(-x) + 2e^(-2x) + 3e^(-x) + ・・・
と展開しておいて，x^4 を掛けて項別積分します．
(3)　　∫{0→∞} x^4 n e^(-nx) dx = 24/n^4
ですから，結局 n^(-4) の和が求められればよく
(4)　　Σ{n=1→∞} (1/n^4) = π^4/90
という有名な結果が使えます．

あとは係数など整理して
(5)　　4π^4/15
が最終結果です．

(4)の導出については
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1852082
の私の回答をご覧下さい．

比熱は内部エネルギーを温度で微分して得られますが，
質問の式もそうして得られたものです．
Θ/T →∞ とするなら，内部エネルギーの表式の段階
(6)　　E ∝ T^4 ∫{0→Θ/T} {x^3 /(e^x－1)} dx
で Θ/T →∞ としてしまった方が計算は多少楽です．

回答No.1

adinat

PolyLogという超越関数を使って不定積分の表示はできるものの、そんなことをしても意味がないように思います。

関数(x^4*Exp[x])/(Exp[x]-1)^2の原点周りの絵を描いてみてください。原点は2位のゼロ点になっています。したがってT→∞とするとき定積分は0に収束します。有界な関数で、積分範囲を0に持っていくと必ず値は0に収束するのです。面積を考えれば自明ですよね。

上の関数が原点で値が0になる連続関数であることは次の簡単な考察から分かります。Exp[x]-1は原点で1位のゼロ点になる（つまり原点での微係数が0ではない）ので、それを2乗すると2位のゼロ点になります。分子にはx^4とあって、4位のゼロ点を持ちます（3階微分までは全部0）。したがって、分子の方が高位のゼロ点なので、0になるのです。

おまけです。不定積分の結果が知りたければ、参考URLにいって、
(x^4*Exp[x])/(Exp[x]-1)^2
を貼り付けて、積分を実行してみてください。

参考URL：

http://integrals.wolfram.com/index.jsp

お礼

参考にしてみます。ありがとうございました。