定積分の置換積分の問題について質問です。

質問

∫[-2～-1]1/(x*sqrt(x^2-1))dx
を積分せよ。
という問題です。sqrt()はルートを表します。

x=1/costと置換することはわかったのですが、
積分範囲を変更する際に、
x=-2のときt=2π/3,4π/3
といくつか解が出てきてしまい、
∫[2π/3～π]
∫[4π/3～π]
のどちらの範囲に変更すればよいかわからなくなってしまいました。

回答よろしくお願いいたします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

分からなければ、分かりやすいように変形したら良いです。
理解の限界を超えるような置換を一度にやらないことです。

まず積分の上限と下限が負で分かりにくいのでx=-uと置換します。
dx=-du,x:[-2->-1](x<0)->u:[2,1](u>0)なので

I=∫[-2->-1]1/(x*sqrt(x^2-1))dx=∫[2->1] -u*sqrt(u^2-1)(-du)
=∫[2->1] u*sqrt(u^2-1)du
積分の上限と下限を入れ替えて
I=-∫[1->2] u*sqrt(u^2-1)du
u=1/v(u>0,v>0)と置換すると
du=-dv/v^2,u:[1->2](u>0)->v:[1->1/2](v>0)
u*sqrt(u^2-1)du=-sqrt(1-v^2)dv/v^4
I=∫[1->1/2] (-sqrt(1-v^2))dv/v^4
v=cos(t)(>0,0<t<π/3)で置換積分する。
dv=-sin(t)dt,-sqrt(1-v^2)dv/v^4=(sin(t))^2/(cos(t))^4
I=∫[0->π/3] (sin(t))^2/(cos(t))^4 dt
=∫[0->π/3] (1-(cos(t))^2)/(cos(t))^4 dt
=∫[0->π/3] 1/(cos(t))^4 dt-∫[0->π/3] 1/(cos(t))^2 dt
この先は出来ますか？
出来るならやってみて下さい。

分からないなら、途中計算を補足に書いて分からない箇所を質問して下さい。

お礼

ありがとうございます！
とてもわかりやすかったです！
まだまだ勉強が足りないので、頑張りたいと思います！

回答No.1

noname#152422

どちらでもいいです。