企業の適性診断で出た積分の問題です。

質問

企業の適性診断で出た積分の問題です。

∫[0～∞]x^2 e^(-x^2) dx

を求める問題ですが、方針を立てる段階から手詰まりです。
置換積分するにしても適当な置換が思い付きませんし、部分積分では積分範囲の∞がネックで発散する項が出てしましいます。

どなたかご教示頂けませんでしょうか。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

∫[0～∞]x^2 e^(-x^2) dx
f'=xe^(-x^2)　(f'=df/dxのこと)
g=x
と見て部分積分を実効

お礼

その分け方に気づきませんでした。
解決しました、ありがとうございます。

回答No.3

noname#108210

∫[0～∞]x^2 e^(-x^2) dx
=-1/2∫[0→∞]{x(e^(-x^2))'} dx
=-1/2{[xe^(-x^2)][0,∞]-∫[0→∞](e^(-x^2))dx
=(-1/2)(0-(√π)/2)‥‥（※）
=(√π)/4

（※）のところは，
∫[0,∞]{exp(-x^2)}dx=(√π)/2
を使用しています。

以下を参考にして下さい。
質問番号：5771003　の回答を参考にして下さい。

お礼

ご回答ありがとうございました。
無事解決いたしました。

回答No.2

inara1

I = ∫[-∞～+∞] exp( -x^2/a^2 ) dx = √( π/a) ( a> 0 ) をガウス積分といいます。
exp( -x^2/a^2 ) は 偶関数なので、ガウス積分の半分の積分区間では
　　　J = ∫[0～+∞] exp( -x^2/a^2 ) dx = I/2 = (1/2)*√( π/a)
となります。この J の式
　　　J = ∫[0～+∞] exp( -x^2/a^2 )
を
　　　J = ∫[0～+∞] 1*exp( -x^2/a^2 )
と考え、f(x) = 1、g(x) = exp( -x^2/a^2 ) としたときの部分積分
　　　J = ∫[0～+∞] f(x)*g(x) dx = [ F(x)*g(x) ] ( 0～+∞ ) - ∫[0～+∞] F(x)*g'(x) dx
　　　F(x) は f(x) を積分したもの
を適用すると
　　　J = [ x*exp( -x^2/a^2 ) ] ( 0～+∞ ) -∫[0～+∞] x*(-2*x/a^2)*exp( -x^2/a^2 ) dx
　　　　= 0 + 2/a^2*∫[0～+∞] x^2*exp( -x^2/a^2 ) dx
なので、問題の定積分は
　　　∫[0～+∞] x^2*exp( -x^2/a^2 ) dx = a^2*J/2 = (1/4)*a^(3/2)*√(π)
で a = 1 としたものです。最初のガウス積分の証明は参考URLに出ています。

参考URL：

http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/gaususekibun.html

お礼

お詳しく書いて下さり、参考になりました。
ありがとうございました。