積分に関する問題

質問

こんにちは。
積分の範囲の問題で分からないものがあるので質問させてください；

∫[∞,0]e^(-x^2)dx=√π/2であることを利用して次の積分の値を求めよ。

(1)∫[∞,-∞]e^｛-(x^2)/2｝dx
(2)∫[∞,-∞]x^2e^｛-(x^2)/2｝dx

(2)はx・x2e^｛-(x^2)/2｝に分けて部分積分をするみたいです。
答えは両方√(2π)なのですが解き方が分かりません。

分かる方、よろしくお願いします。

回答No.3

lick6 · ベストアンサー

(1)まず積分範囲を[-∞→0]と[0→∞]に分けます。
与えられた式を使うために x^2/2 を t^2 とするために置換積分で x = √2 * t とおきます。
∫[-∞→∞]　[e^{-(x^2)/2}]dx
= ∫[-∞→0] e^{-(x^2)/2}dx + ∫[0→∞] e^{-(x^2)/2}dx
ここで∫[-∞→0] e^{-(x^2)/2}dx は -x = u とすると
∫[-∞→0] e^{-(x^2)/2}dx = -∫[0→∞] [e^{-(u^2)/2} * (-1)]du
　　　　　　　　　　　　　 = ∫[0→∞] e^{-(u^2)/2}du
となるので(与式) = 2 * ∫[0→∞] e^{-(x^2)/2}dx
ここで x = √2 * t 置くと
　　　　　　　　 = 2 * √2 * ∫[0→∞] e^{-(t^2)}dt
　　　　　　　　 = √(2π)
(2)
∫[0→∞] [x^2 * e^{-(x^2)/2}]dx　x = √2 * t とおいて
= √2 * ∫[0→∞]　[(2 * t^2) * e^{-(t^2)]dt
= 2√2 * ∫[0→∞]　[t^2 * e^{-(t^2)}]dt
= 2√2 * ( [t * {-1/2 * e^(-t^2)}][0→∞] - ∫[0→∞]　[(-1/2) * e^{-(t^2)}]dt )
= √2 * ∫[0→∞] e^{-(t^2)}dt
= √e/√2
あとは(1)のように積分範囲をかえてやればでると思います。

お礼

細かな説明ありがとうございます。
これからじっくり考えてみます！

回答No.4

tomo_momo

＃１です。あまりに雑だったので

１）皆さんのいうようにぐう関数なので、積分範囲を原点の左右に広げたら２倍になるだけです。置換積分ですが、定数がかけ合わさってるくらいなら、

∫[∞,-∞]e^｛-(x^2)/2｝dx=∫[∞,-∞]e^｛-(x/√2)^2｝(dx/√2)x√2
なんてやっちゃいますね。積分のメッシュを切るのをdxからdx/√2　に変わるだけで、積分自体は同じになります。

２は、被積分関数が　f'　g　の形だから、部分積分です。g=x, f=-e^｛-(x^2)/2 ですね。xe^｛-(x^2)/2　は　-e^｛-(x^2)/2　を微分したものですよね。

お礼

わざわざありがとうございます。
（１）が簡単だなんて羨ましいです；
わたしも頑張ります。
ありがとうございました。

回答No.2

R_Earl

まず、e^(-x^2)は偶関数なので、y = e^(-x^2)のグラフは左右対称になります。
なので

∫[0,-∞]e^(-x^2)dx
= ∫[∞,0]e^(-x^2)dx
= √π/2

となるはずです。
ということは

∫[∞,-∞]e^(-x^2)dx
= {∫[∞,0]e^(-x^2)dx} + {∫[0,-∞]e^(-x^2)dx}
= (√π/2) + (√π/2)
= √π

です。ここでe^(-x^2) = f(x)とおけば、

∫[∞,-∞]e^(-x^2)dx
= ∫[∞,-∞]f(x)dx
= F(∞) - F(-∞) （F(x)はf(x)の不定積分）
= √π

と書き直せます。ようはf(x)の定積分は√πです。
同様に問題(1)の関数もf(x)を使ってみると

∫[∞,-∞]e^｛-(x^2)/2｝dx
=∫[∞,-∞]e^｛-(x/√2)^2｝dx
=∫[∞,-∞]f(x/√2)dx

と書けます。ようは(1)ではf(x/√2)の定積分を求めればいいんです。
ただ、f(x)の不定積分を求めるのは面倒なので（そもそも不定積分が求まるのか、私には分かりません。）
前に書いたF(∞) - F(-∞) = √πという式を利用することになります。
x/√2 = uと置いて置換積分し、F(∞)とF(-∞)が作れれば(1)は解けます。

お礼

ありがとうございます。
∫[∞,-∞]e^(-x^2)dx＝√π
の説明がすごくわかりやすくて助かりました。

もう少し自分でも頑張ってみます。

回答No.1

tomo_momo

１は明らか。

２は　直感的には　xe^｛-(x^2)/2　が　-e^｛-(x^2)/2　を微分したものだから、部分積分のやり方でもとまる。