ガウス積分

質問

∫[-∞→∞](x＾2)*exp(-(x^2)/α＾2)dxの答えが、(α＾３*√π)/２ となるのですが、1/2が出てきません。
部分積分をしてガウスの法則を用いて、以下のように解きました。
∫[-∞→∞](x＾2)*exp(-(x^2)/α＾2)dx
＝[-α^2/2*exp(-(x^2)/α＾2)*x]＋∫α^2*exp(-(x^2)/α＾2)dx
ここで、第一項はゼロになり、第二項にガウスの積分を使いました。
＝α＾2*√（α＾2*π）
＝α＾3*√π

どこが間違っているかわかる方いたら教えてください。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#2です。

>部分積分の二項目は∫f'(x)g(x)dxで、f'(x)＝2xとなるので、
>∫2x*(-(α^2)/2x)exp(-(x^2)/α＾2)dx
>となり、全体で2xが消えてしまうのですが、なぜでしょうか。
>1/2はどうやったら残るのでしょうか？
適用の仕方を勘違いしてませんか？
f(x)=xなので f'(x)=1となります。

>∫[-∞→∞](x＾2)*exp(-(x^2)/α＾2)dx
=(-α^2/2)∫[-∞→∞]x*exp(-(x^2)/α＾2)(-2x/α＾2)dx
=(-α^2/2)∫[-∞→∞]x*{exp(-(x^2)/α＾2)}'dx

f(x)=x,
g(x)=exp(-(x^2)/α＾2)(-2x/α＾2)={exp(-(x^2)/α＾2)}'
とおくとf'(x)=1

=(-α^2/2)∫[-∞→∞]f(x)g(x)dx
=(-α^2/2)[f(x)exp(-(x^2)/α＾2)]
-(-α^2/2)∫f'(x)*exp(-(x^2)/α＾2)dx
=(-α^2/2)[x*exp(-(x^2)/α＾2)]
+(α^2/2)∫1*exp(-(x^2)/α＾2)dx
となり、第二項の係数(α^2/2)の中に(1/2)がついています。

お分かりになりませんか？

お礼

お礼が遅れてすみません！やっと理解できました！細かくわかりやすく説明してくださって本当にありがとうございます。適用の仕方が間違っていたのですね・・・。本当にありがとうございました！

回答No.3

noname#108210

気になりますの回答します．
＞部分積分をしてガウスの法則を用いて、以下のように解きました。
＞∫[-∞→∞](x＾2)*exp(-(x^2)/α＾2)dx
＞＝[-α^2/2*exp(-(x^2)/α＾2)*x]＋∫α^2*exp(-(x^2)/α＾2)dx

部分積分に問題があります．
∫f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-∫f(x)g'(x)dx
で f(x)g(x)=-α^2/2*exp(-(x^2)/α＾2)*x で良いでしょうか？

結果を求めるのであれば
I＝∫[-∞→∞](x＾2)*exp(-(x^2)/α＾2)dx
(x/α)=t とおき
I＝α^3∫[-∞→∞](t＾2)*exp(-(t^2))dx
さらに，t^2=s とし
I＝α^3∫[0→∞](s＾(1/2))*exp(-s)ds
ここで，ガウス積分を使って　
∫[0→∞](s＾(1/2))*exp(-s)ds＝Γ(3/2)＝(√π)/2
としてはいかがでしょうか．

補足

実際計算をしてみたのですが、
＞さらに，t^2=s とし
　I＝α^3∫[0→∞](s＾(1/2))*exp(-s)ds
　ここで，ガウス積分を使って　
　∫[0→∞](s＾(1/2))*exp(-s)ds＝Γ(3/2)＝(√π)/2
とあるのですが、(s＾(1/2))が入っているのに、ガウス積分はどのようにするのでしょうか？
ガウス積分の公式はf(u)=∫[-∞→∞]exp(-ax^2）dx＝√π/aしか知らないのですが、それ以外の公式を使うのですか？
また、Γ(3/2)とはガンマ関数ですか？ガンマ関数を知らないのですが、どのように計算するのですか？質問が多くてすみません。。

回答No.2

info22

#1さんも言われていますが、
>＝[-α^2/2*exp(-(x^2)/α＾2)*x]＋∫α^2*exp(-(x^2)/α＾2)dx
＝[-α^2/2*exp(-(x^2)/α＾2)*x]＋∫(α^2/2)*exp(-(x^2)/α＾2)dx
のところでケアレスミスをしていますね。

従って、以降の２つの式は(1/2)倍になります。

補足

部分積分の二項目は∫f'(x)g(x)dxで、f'(x)＝2xとなるので、
∫2x*(-(α^2)/2x)exp(-(x^2)/α＾2)dx
となり、全体で2xが消えてしまうのですが、なぜでしょうか。1/2はどうやったら残るのでしょうか？

回答No.1

noname#96417

部分積分した第２項で 1/2 が落ちているのでは？

補足

部分積分の二項目は∫f'(x)g(x)dxで、f'(x)＝2xとなるので、
∫2x*(-(α^2)/2x)exp(-(x^2)/α＾2)dx
となり、全体で2xが消えてしまうのですが、なぜでしょうか。1/2はどうやったら残るのでしょうか？