- 締切済み
ガウス積分公式の証明についてです!
ガウス積分公式の証明で、 ∫dx exp(-ax^2)=(π/a)^1/2 までは分かるのですが、 多次元の場合の ∫・・・∫dx1・・・dxn exp(-Σxi Aij xj) =(π^n/2)/(detA)^1/2 (積分範囲は-∞~∞、和の範囲はij~nです。) の証明が、どのようにすれば良いのかどうしても分かりません!教科書などもかなり調べたのですが、基本的すぎるのか探し方が悪いのか、どうやっても分かりませんでした。明日までに解かなければならず、最後の頼みの綱としてここに書かせて頂きます!分かるという方いらっしゃいましたら、どうか教えてやって下さい!お願いします!
- natsumegu
- お礼率100% (2/2)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数6
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
みんなの回答
- adinat
- ベストアンサー率64% (269/414)
とりあえず対角成分が(λ_1,…,λ_n)の対角行列の場合を考えます。 Fubiniは変数別に積分できるというぐらいに思えばよいと思います。 そうすると ∫・・・∫dx_1・・・dx_n exp(-Σλ_ix_i^2) =∫exp(-λ_1x_1^2)dx_1・・・∫exp(-λ_nx_n^2)dx_n となって1変数の場合の結果がそのまま使えます。
- adinat
- ベストアンサー率64% (269/414)
Aは正定値だとおもいますが、対角化(要は変数変換) して、あとはFubiniをつかって1変数に帰着させる というのが基本的な方針だったと思います。
お礼
早速のご回答ありがとうございます! そうです、書き忘れてしまいましたが、Aは正定値で、対角化可能です。ご指摘ありがとうございます! Fubiniの定理を使うのですか、、、その定理自体理解が怪しいのですが、、明日までまだあるので頑張ってみます>_<
関連するQ&A
- ガウス積分みたいです。
ある期待値(または平均値)を計算する中にでてくるんですが、∫[-∞,∞]x・exp(-ax^2)dxの積分ってどうやればいいんですか?部分積分でやると、こんがらがってしまいます。 ガウス積分なんですか? ∫[-∞,∞]x^2・exp(-ax^2)dxの積分は1/2a*(π/a)^(1/2)っていうのは、いろんなサイトや教科書にもでていますが、前者にあげたxの1乗の場合がどうしたらいいかわかりません。ガウス積分に一般式でもあるのでしょうか? 急なお願いになってしまうのですが、お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- ガウス積分の仕方(証明)
ガウス積分の問題で行き詰まってしまいました。 ∞ ∫ x*exp[-a*x^2] dx=1/(2*a) 0 となると思うのですが、これの証明の仕方がわかりません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ガウス積分に似た式なのですが...
ガウス積分に似た式なのですが... ∫[0→∞](x^2)*exp(-(x^4)-(x^2))dx ガウス積分を含んでいるのですが,exp()の()中が多項式になっており,部分積分が出来そうもありません. どなたか解ける方がいらっしゃったらお教えください.
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます!成る程です!書いて頂いた式に沿ってやってみたら解くことができました~!おかげ様で無事に今日発表も済みまして、返信が遅くなりましたが、本当にありがとうございました!!