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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:積分の問題で質問です。)

不定積分の問題で質問です

このQ&Aのポイント
  • 不定積分∫dx/(x^4+4)を求める方法について質問です。
  • 部分分数分解を用いて、∫{(-x/8+1/4)/(x^2-2x+2)+(x/8+1/4)/(x^2+2x+2)}dxの形に変形しました。
  • 一部の積分を計算しましたが、答えにlogが含まれていないため不安です。この解法は正しいでしょうか?

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  • info22_
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回答No.2

#1です。 補足します。 間違いの原因は >(x^2=tと置く置換積分を利用しました) このような置換はする意味がないので通常しません。 この置換を行ったため、間違いを起こしてしまったのでしょう。 >=-1/16∫dt/{(√t-1)^2+1} >=(-1/16)*arctan(√t-1)+C …(■) この(■)ような積分になる場合は -1/16∫{(√t-1)'}dt/{(√t-1)^2+1} =-1/16∫{1/(2√t)}dt/{(√t-1)^2+1}+C のような合成関数の積分の形である場合です。 このうちの{(√t-1)'}の微分項を無視したことが間違った原因ですね。 置換積分は通常「t=x-1」と置換して行います。 部分分数分解して、 ∫{(-x/8+1/4)/(x^2-2x+2)}dx =(1/16)∫{(-2x+2+2)/(x^2-2x+2)}dx =(1/16)∫(2-2t)/(t^2+1)dt =(1/8)∫dt/(t^2+1) -(1/16)∫(2t)/(t^2+1)dt =(1/8)arctan(t)-(1/16)log(1+t^2)+C t=x-1を代入して元の変数に戻すと =(1/8)arctan(x-1)-(1/16)log(x^2-2x+2)+C チャンと対数関数logが出てきます。 同様に、t=x+1で置換積分して ∫{(x/8+1/4)/(x^2+2x+2)}dx =(1/16)∫{(2x+2+2)/(x^2+2x+2)}dx =(1/16)∫{(2t+2)/(t^2+1)}dt =(1/8)∫{1/(t^2+1)}dt+(1/16)∫2t/(t^2+1)dt =(1/8)arctan(t)+(1/16)log(1+t^2)+C =(1/8)arctan(x+1)+(1/16)log(x^2+2x+2)+C こちらも対数関数logが出てきます。

pigupino
質問者

お礼

なるほど! 理解しました。 丁寧な解説ありがとうございました。

その他の回答 (1)

  • info22_
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回答No.1

>∫(-x/8)/(x^2-2x+2)dx (x^2=tと置く置換積分を利用しました) >=-1/16∫dt/(t-2√t+2) >=-1/16∫dt/{(√t-1)^2+1} >=(-1/16)*arctan(√t-1)  ↑ここで間違い 正:(-1/16)log(t-2√t+2)/-(1/8)atan(√t-1) >=(-1/16)*arctan(x-1) 以降、間違い。 >∫(1/4)/(x^2-2x+2)dx >=1/4∫dx/{(x-1)^2+1} >=(1/4)*arctan(x-1) こちらはOK。 >この解き方だと答えにlogは出てきませんが、解答を見るとlogが入ったものとなっていました。 >この解法は合っていますか?それとも間違っているのでしょうか。 質問者さんの単なる計算間違い。解答にはlogが入ります。 正しくないことは、微分してみれば、元に戻らないことからも分かる。 自分で計算間違いしてそれが分からないのは問題(また繰り返すため) 不定積分のチェックは、積分した関数を微分すればもとの被積分関数に戻ることで行うことでエラーが見つかります。

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