不定積分の計算で出た定数は捨てて良いのでしょうか

質問

46歳の会社員です。思うところがあって、1 年前から数学を独学で勉強しています。
　非常にレベルが低い質問をしているのかもしれませんが、周りに聞ける人がいないのでここに質問をすることにしました。

　不定積分の計算で出てきた定数は積分定数と扱って捨ててよいのでしょうか ?
　例えば、
∫(x + 1)^2 dx （(x + 1)の 2乗を積分）
を
∫(x^2 + 2 * x + 1) dx
に変形すると、
x^3 / 3 + x^2 + x
になりますが、

x + 1 = t とおいて
∫t^2 dt
に変形すると、
x^3 / 3 + x^2 + x + 1 / 3
となり、定数 1 / 3 が出てきます。

　また、
∫{2 / (2 * x + 2)} dx
を
∫{1 / (x + 1)} dx
に変形すると、
log|x + 1|
になりますが、

2 * x + 2 = t とおいて
∫(2 / t) * (1 / 2) dt
に変形すると、
log|2 * x + 2|
になります。

　これを
log|2 * x + 2| = log|(x + 1) * 2| = log|x + 1| + log|2|
と変形すると、定数 log|2| が出てきます。

　これらの定数は積分定数として扱って捨ててよいのでしょうか ?

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

たとえば

y=x^2+1 を微分すれば y=2x
y=x^2 を微分しても y=2x

ですよね．
積分する，すなわち原始関数を計算するというのは
微分するとその関数になるものを求めるということで
たとえば
y=2x を積分したばあい，y=x^2+1 も y=x^2 も
y=2x の原始関数です．

微分すると定数が消えてしまうので，
その逆である積分では，答えに「微分で消えてしまう定数」の分の
差がでてしまうのです．

F'(x)=G'(x) ならばある定数Cが存在して
F(x)-G(x)=C
とできる（FとGには厳密には条件がありますが，微分可能くらいで実用上十分）

ということです．
＃これの証明は簡単．平均値の定理でほぼおわり
ですんで，積分の結果には定数分のゆらぎがあります．

その揺らぎを「積分定数」として
x^2 + C
とかいうように，Cで表現するのです．

この「C」の任意性で，見た目が一見異なる関数が
ひとつの関数の原始関数であることが数IIIではありますし
微分方程式の一般解も一見見た目が違うものがでてくることがあります．

ちなみに，No.2は「積分を計算する」という言葉の意味と
定積分・不定積分を混同しているとかいろいろ残念なので
気にしないほうがいいです．
積分定数という言葉は普通に使われます．

お礼

ありがとうございます。

確かに、
x^3 / 3 + x^2 + x
も
x^3 / 3 + x^2 + x + 1 / 3
も微分すれば元の
(x + 1)^2
に戻すことができますし、

log|x + 1|
も
log|x + 1| + log|2|
も微分すれば元の
2 / (2 * x + 2)
に戻ります。

やっとスッキリしました。

回答No.2

misumiss

積分定数ということばは, 聞いたことがありません.
おそらく, 正式な数学用語ではないと思います.
よって, そのようなものは, かく必要がありません.

積分は, どのような解き方でも, 同じ答えになるはずです.
値が異なるとしたら, それは, 積分する区間が異なるからです.

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

asuncion

不定積分の計算の結果、xに無関係な項として出てきた分は、
ひとくくりにして例えば「C」という定数として扱って問題ありません。
理由：xに無関係な項として出てきた分（つまり定数項）は、
微分すると消えてなくなるからです。

というわけで、ご質問の最初に挙げられている2次関数の不定積分については、
∫(x+1)^2dx = x^3/3 + x^2 + x + C
という風に、「定数項がありますよ（具体的な値は何でもいい）」ということを明記される方が、
より正しいと思います。
Cの値が0なのか1/3なのかそれとも別の値なのか、
不定積分の範囲においてはどうでもいい、ということです。

お礼

ありがとうございます。
元は同じ式なのに、解き方が違うと違う答えになるのがどうしても理解できずに悩んでいました。