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不定積分について

大学の微分積分でてきた問題(答えが無い) で(2X+3)/X^2+9を不定積分しろとあったのですが 分子が分母を微分した結果にならないからlogで積分できないし 部分分数にすることもできずまた分子を分母でわることもできず 積分ができなくて困っています それと(X-1)log(X+1)dxの不定積分とe^2xcosxdxの不定積分を 部分積分法を使ってやってみたのですが何回くりかえしても 式が展開されるだけで困っています

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まだまだ積分公式を見ることが足りないですね。 積分の記号「∫」は「積分」と入力して変換キーで出てきます。 積分の式は積分記号を使って書いて下さい。 積分のやり方は積分公式に当てはめるられるように変数変換しないといけません。今のあなたの発想ではいつまでも積分をできる力が身につきませんよ。 まず多くの不定積分の公式集(公式一覧)をじっくり見ることです。できれば覚える。またその公式の導き方を覚える。 そうすれば、現在目の前の問題を公式が使える形に分解したり、変数変換ができるようになります。 >(2X+3)/X^2+9 式の書き方はこう書いてはいけないですよ。ちゃんと括弧を使って分母や指数部の区切りがはっきり分かるように書いて下さい。 (2X+3)/{(X^2)+9} =2X/{(X^2)+9} ←分母を微分したのが分子にある +3/{(X^2)+9}  ←X=3tと変数変換すれば公式∫1/(1+t^2)dt=arctan(t)が使える。 このように見抜かないといけないよ。 後はやって下さい。 結果は I=log(9+x^2)+arctan(x/3)+C >(X-1)log(X+1) =(X+1)log(X+1) ←X+1=tと変数変換して部分積分公式適用(*1) -2log(X+1)  ←X+1=tと変数変換して部分積分公式適用(*2) (*1) ∫tlog(t)dt={(t^2)/2}log(t)-∫{(t^2)/2}(1/t)dt ={(t^2)/2}log(t)-(1/2)∫tdt =… (後はできますね。やって下さい。) (*2) -2∫1*log(t)dt=-2tlog(t)+2∫(t/t)dt =… (後はできますね。やって下さい。) t=X+1を代入して元の変数に戻すことを忘れないこと! I=∫e^(2x)cos(x)dx この手の積分は2回部分積分すると I=g(x)+h(x)*I となりますのでIの項を左辺に移項して係数で割って積分を求めるのが「定石」です。覚えておいて下さい。 I{1+h(x)}=g(x) I=g(x)/{1+h(x)} 後は自力でできるはずですよ。がんばってやってみて下さい。 分からなければ、できた所までの解を書いて、補足質問してください。

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  • 回答No.2
noname#56760

(2X+3)/X^2+9 は(2X+3)/(X^2+9)のことですか? +9が別なら簡単ですし (2X+3)/(X^2+9)=(2X)/(X^2+9)+3/(X^2+9)として ∫(2X)/(X^2+9)+3/(X^2+9)dx=log(x^2+9)+tan^(-1)(x/3)+C ∫(X-1)log(X+1)dx=(X-1)^2log(X+1)/2+(X-1)^2/4+C ∫e^2xcosxdx は∫{e^(2x)}cosxdxのことでいいですか? [{e^(2x)}cosx]'={2e^(2X)}cosX-{e^(2x)}sinx [{e^(2x)}sinx]'={2e^(2X)}sinX+{e^(2x)}cosx 上式×2+下式 2[{e^(2x)}cosx]'+[{e^(2x)}sinx]'=5{e^(2X)}cosX よって (2/5)[{e^(2x)}cosx]'+(1/5)[{e^(2x)}sinx]'={e^(2X)}cosX ∫{e^(2x)}cosxdx=(2/5)[{e^(2x)}cosx]+(1/5)[{e^(2x)}sinx]+C

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回答ありがとうございます

  • 回答No.1

あなたの問題の書き方がまずいですよ? >で(2X+3)/X^2+9を不定積分しろとあったのですが とありますが,これは(2X+3)/(X^2+9)を X で不定積分せよ. と書くべきではないですか?つまり,    Y=∫(2X+3)/(X^2+9) dX の Y を求める問題でしょう?? ∫(2X+3)/(X^2+9) dX = ∫(2X)/(X^2+9) dX + ∫3/(X^2+9) dX ですから ∫(2X+3)/(X^2+9) dX = ln(X^2+9) + arctan(X/3) + c です.ln(X^2+9)の ln は自然対数で,c は積分定数です.不定積分 ∫1/(X^2+a^2) dX =(1/a)arctan(X/a) の公式が使えます.a=3の場合です.

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 式の書き方がまずかったようでどうも失礼しました

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