不定積分の問題

質問

不定積分の問題

∫2/(x-1)(x^2+1)dxについてです。
途中までは解いてみて、部分分数分解をして、∫1/(x-1)dx+∫(-x-1)/(x^2+1)dx
のように式変形できました。
∫1/(x-1)dxについては解けますが、∫(-x-1)/(x^2+1)dxはどうすればよいでしょうか？
ここでつまってしまいました。
高校で習った公式ではたぶん解けないと思います。
分かる方、宜しくお願いします。

回答No.3

R_Earl · ベストアンサー

まず
∫(-x-1)/(x^2+1)dx
=∫{-x/(x^2+1)} - {1/(x^2+1)}dx
= -∫x/(x^2+1)dx - ∫1/(x^2+1)dx

という感じに分離させます。

∫x/(x^2+1)dxは置換積分で解けます。
分母x^2+1をtとおいて置換積分してみてください
(これは高校数学の知識で解けるタイプです)。

∫1/(x^2+1)dxは公式通り、arctanxとなります。

お礼

解答ありがとうございます。
疑問解決です！！
分子の-x-1を-xと-1に分離すれば簡単に分かる話だったんですね。
初歩的なところでミスしてましたね。難しく考えすぎました。
本当にありがとうございました！

回答No.2

Anti-Giants

(x+1)/(x^2+1)=1/2(log(x^2+1))'+1/(x^2+1).

1/(x^2+1)、はx=tan(t)と置けばできるはずですが・・・

お礼

解答ありがとうございます。
(x+1)/(x^2+1)=1/2(log(x^2+1))'+1/(x^2+1)ってどうしてイコールなんですか？

回答No.1

Hogepiyofoobar

y = -arctan x - log(1 + x^2)/2
とおくと，
y' = (-x - 1)/(x^2 + 1)
となるので，両辺積分して
∫(-x - 1)/(x^2 + 1)dx = -arctan x - log(1 + x^2)/2 + C

お礼

解答ありがとうございます。
解答の流れは分かりますが、
y = -arctan x - log(1 + x^2)/2とおく発想って簡単に思いつくものですか？