不定積分

質問

次の問題なんですが、一問目は答えが出ていて二問目が分かりません。
またどちらとも途中のしきが立てられないので、どなたかご指南お願いします。

(1)∫(１／x^3＋１)dx

　この問題ではx^3＋１＝(x＋１)(x^2－x＋１)で分数分解して、両辺にx^3を掛けて係数比較するんですが、そのあとの積分の計算ができません。。。

　答えは1/6log(x+1)^2/x^2-x+1 + 1/√3Arctan((2x-1)/√3)らしいんですが。。。

(2)∫{１／(1＋x^3)^4/3}dx

　こちらの問題は解き方がわかりません。

回答No.2

debut · ベストアンサー

1/(1+x^3)=(1/3){1/(x+1)-(x-2)/(x^2-x+1)}とできて
第１項はいいとして、第２項は
{(x-(1/2))-(3/2)}/{(x-(1/2))^2+(3/4)}
=(x-(1/2))/{(x-(1/2))^2+(3/4)}-(3/2)/{(x-(1/2))^2+(3/4)}
ここで、
前は (1/2)[2(x-(1/2))/{(x-(1/2))^2+(3/4)}] だから
積分して、(1/2)log{(x-(1/2))^2+(3/4)}=(1/2)log(x^2-x+1)
後ろは 3/4 を (√3/2)^2 とみれば、
∫dx/(x^2+a^2)=(1/a)Arctan(x/a) のようにできるから、
-(3/2)/{(x-(1/2))^2+(√3/2)^2} の積分は
-(3/2)(2/√3)Arctan{2(x-1/2)/√3} というふうにできます。

回答No.1

Tacosan

(1): ∫dx/(x^2+1) は積分できます?
(2): 1+x^3 = y とおいて置換積分かなぁ.