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不定積分

次の問題なんですが、一問目は答えが出ていて二問目が分かりません。 またどちらとも途中のしきが立てられないので、どなたかご指南お願いします。 (1)∫(1/x^3+1)dx    この問題ではx^3+1=(x+1)(x^2-x+1)で分数分解して、両辺にx^3を掛けて係数比較するんですが、そのあとの積分の計算ができません。。。  答えは1/6log(x+1)^2/x^2-x+1 + 1/√3Arctan((2x-1)/√3)らしいんですが。。。 (2)∫{1/(1+x^3)^4/3}dx  こちらの問題は解き方がわかりません。

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1/(1+x^3)=(1/3){1/(x+1)-(x-2)/(x^2-x+1)}とできて 第1項はいいとして、第2項は {(x-(1/2))-(3/2)}/{(x-(1/2))^2+(3/4)} =(x-(1/2))/{(x-(1/2))^2+(3/4)}-(3/2)/{(x-(1/2))^2+(3/4)} ここで、 前は (1/2)[2(x-(1/2))/{(x-(1/2))^2+(3/4)}] だから 積分して、(1/2)log{(x-(1/2))^2+(3/4)}=(1/2)log(x^2-x+1) 後ろは 3/4 を (√3/2)^2 とみれば、 ∫dx/(x^2+a^2)=(1/a)Arctan(x/a) のようにできるから、 -(3/2)/{(x-(1/2))^2+(√3/2)^2} の積分は -(3/2)(2/√3)Arctan{2(x-1/2)/√3} というふうにできます。

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  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

(1): ∫dx/(x^2+1) は積分できます? (2): 1+x^3 = y とおいて置換積分かなぁ.

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