不定積分の問題について

質問

写真の問題が検算すると間違っているようですが、積分が違うのか微分が違うのかわかりません。どこが間違っていますか？

問題は、
∫(2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 3x - 2)/(x^3 - x^2 + x - 1) dx
です。
計算すると、答えが
x^2 - x + log((x^2 + 1)^(1/2)/(x - 1)^2) + arctanx + C(積分定数)
になりました。
でもこれを微分すると
(2x^4 - 3x^3 + 2x^2 -2x -2)/(x^3 - x^2 + x - 1)
になります。
問題では分子のxの係数は-3だけど計算では-2になってしまいます。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

I=∫(2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 3x - 2)/(x^3 - x^2 + x - 1) dx
=∫[2x-1-(x^2+3)/(x^3 - x^2 + x - 1)] dx=x^2-x-∫(x^2+3)/(x^3 - x^2 + x - 1) dx
J=∫(x^2+3)/(x^3 - x^2 + x - 1) dx=∫(x^2+3)/(x^2+1)(x-1) dx
=∫[2/(x-1)-(x+1)/(x^2+1)] dx=2log(x-1)-∫[x/(x^2+1)]dx-∫dx/(x^2+1)
∫[x/(x^2+1)]dx=(1/2)∫[2x/(x^2+1)]dx=(1/2)∫[(x^2+1)'/(x^2+1)]dx=(1/2)log(x^2+1)
∫dx/(x^2+1)=arctanx
J=2log|x-1|-(1/2)log(x^2+1)-arctanx
I=x^2-x-J=x^2-x-2log|x-1|+(1/2)log(x^2+1)+arctanx+C

dx/dI=2x-1-2/(x-1)+(1/2)(2x/(x^2+1))+1/(x^2+1)=2x-1-2/(x-1)+x/(x^2+1)+1/(x^2+1)
=2x-1+(x+1)/(x^2+1)-2/(x-1)=2x-1-(x^2+3)/(x^2+1)(x-1)
=[(2x-1)(x^2+1)(x-1)-(x^2+3)]/[(x^2+1)(x-1)]
=(2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 3x - 2)/(x^3 - x^2 + x - 1)

お礼

回答ありがとうございます。微分が間違っていたようですね。回答を参考にもう一度計算してみます。