• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

不定積分について

大学一年の者です。問題に略解しかついていない某微分積分の教科書に記載されている問題なのですが、途中式がよくわからない問題があるので、質問させて頂きました。 ∫ dx/x(1+x^2)^2 なのですが、 ∫ dx/(1+x^2)^2 を積分して (x/1+x^2 + arctanx)/2 となり、これを用いて、部分積分による方法で解こうとしたのですが上手く解けません。ちなみにarctanxはアークタンジェントxのことです。  略解は   1/2(1+x^2) + log(x^2/1+x^2)/2 + C(積分定数) となっております。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数2
  • 閲覧数56
  • ありがとう数1

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2

>log(x^2/1+x^2)/2 + x^2/2(1+x^2) + C(積分定数) 微分と積分の処理がこんがらがっていませんか? >x^2/2(1+x^2) x^2が分子に出てくるとは思えません。そのままでも十分積分できると 思いますが、念のため置換積分で書くと x^2+1=tとおくとdt=2xdx ∫{- x/(1+x^2)^2}dx=∫-1/2t^2dt=1/t=1/(x^2+1) ∫dx/x(1+x^2)^2=∫{1/x - x/(1+x^2) - x/(1+x^2)^2}dx =log|x| - 1/2*log1/(1+x^2) + 1/2(1+x^2) =1/2*logx^2/(1+x^2) + 1/2(1+x^2) となると思いますが。。。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

お手数掛けてすみません、ようやくわかりました(^^;)

関連するQ&A

  • 不定積分の問題について

    写真の問題が検算すると間違っているようですが、積分が違うのか微分が違うのかわかりません。どこが間違っていますか? 問題は、 ∫(2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 3x - 2)/(x^3 - x^2 + x - 1) dx です。 計算すると、答えが x^2 - x + log((x^2 + 1)^(1/2)/(x - 1)^2) + arctanx + C(積分定数) になりました。 でもこれを微分すると (2x^4 - 3x^3 + 2x^2 -2x -2)/(x^3 - x^2 + x - 1) になります。 問題では分子のxの係数は-3だけど計算では-2になってしまいます。

  • 不定積分が解答と一致しません

    √{(x-1)/(2-x)}を積分せよ。という問題の答えが解答と一致しません √(2-x)=tと置いてx=2-t^2,dx==-2tdt  ∫√{(x-1)/(2-x)}dx =∫√(1-t^2)(-2tdt)/t =-2∫√(1-t^2)dt [∫√(1-t^2)dt]の部分は公式を使ったり、部分積分を用いたりして[{t√(1-t^2)+arcsint}/2](ここでは積分定数を省略) よって-√(x-1)(2-x)-arcsin√(2-x)+C(C:積分定数)だと思ったのですが、解答には arctan√{(x-1)/(2-x)}-√(x-1)(2-x)+Cとあります。 -√(x-1)(2-x)-arcsin√(2-x)+Cという答えはあっていますか?

  • 不定積分について

    大学の微分積分でてきた問題(答えが無い) で(2X+3)/X^2+9を不定積分しろとあったのですが 分子が分母を微分した結果にならないからlogで積分できないし 部分分数にすることもできずまた分子を分母でわることもできず 積分ができなくて困っています それと(X-1)log(X+1)dxの不定積分とe^2xcosxdxの不定積分を 部分積分法を使ってやってみたのですが何回くりかえしても 式が展開されるだけで困っています

その他の回答 (1)

  • 回答No.1

とりあえず分数を変換できそうですね。そうすれば積分は簡単だと思います。 1/x(1+x^2)^2=1/x - x/(1+x^2) - x/(1+x^2)^2

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

早速のご回答、感謝いたしますm(_ _)m 部分分数分解できますね(^^;) 部分積分で無理やり解こうとしていて気付きませんでした。。。 部分分数分解して計算しなおすと、 log(x^2/1+x^2)/2 + x^2/2(1+x^2) + C(積分定数) となって略解と違う答えになってしまいます。。。

関連するQ&A

  • 数(3)・不定積分 : log(x+2)、log(1-x)の積分の仕方

    数(3)の不定積分で「log(x+2)」「log(1-x)」(どちらも底はeです)の積分をやったのですが、授業で理解しきれなかった事があります。 最初の問題は部分積分法の公式を使うと ∫log(x+2)=log(x+2)・x-∫1/(x+2)・xdx …(1)となり、 解答は log(x+2)・x-x+2log|x+2|+C (Cは積分定数) となるのですが、(1)式の右辺、「∫1/(x+2)・xdx」の部分を、何故、それぞれを約分して「∫1dx+∫1/2xdx」としてはいけないのかが判りません。 次の問題は、上と同じようにして部分積分法の公式を使うと ∫log(1-x)=log(1-x)・x+∫x/(1-x)dx …(2)となり、 解答は x・log(1-x)-x-log|1-x|+C(Cは積分定数) となるのですが、ここで、(2)式の右辺、∫x/(1-x)dxの部分を、部分分数に分けて∫{-1+1/(1-x)}にするのですが(今の式の『-1』は、(1-x)で割られない、普通の-1です)、そういう風に変形する意味が分かりません。 分かる方が居ましたら、教えて下さると嬉しいです!

  • 高校数学 積分

    ∫-1→1 (x+2)log(x+2)dx という問題で、部分積分法で解くのに、解答はx+2を積分して(x+2)^2としています。確かにこれだと、処理が簡単なのですが、1/2x^2+2xとしても微分するとx+2になるのですが、これで計算すると、(面倒くさいやり方ですが)答えが合いません。積分定数はなんでもよいのではないのでしょうか?わかりにくい説明ですみませんが、どなたかわかる方、お知恵を貸してください。

  • 対数の不定積分

    対数の積分で、例えば∫log(3x)dxという問題があったときに 普通に部分積分を使って解く方法とは別に∫log(x)dx=xlog(x)-x+Cを利用しても解けると聞いたのですが今一分かりません とりあえず∫log(3x)dx=∫(log3+logx)dxという風にしてみたのですが、log3をxで積分するところで躓きました。定数なので○xという形になるとは思うのですが・・・。 何かやり方が違うのでしょうか?

  • 不定積分の問題です

    ∫(x^4 + x + 1)/(x^3 - 2x^2 + x)dx の答えは 1/2x^2 + 2x + log(x-1)/x + 1/(x-1) + C(積分定数) で、合っていますか?

  • 積分の回答があっているか教えてください

    以下の計算問題を解いたのですが、 よくわかってないまま解いたところもあり、あっているか自信がありません。 わかる方、ご指南おねがいします。 (1) ∫{1→2}1/(x+1) dx x+1=tとおく。 (dt)/(dx)=1→dx=(dt)/1 x | 1→2 --------- t | 2→3 ∫{2→3}1/t dt= [log |t|]{2→3} F(x)=log|3|-log|2| (2) ∫x^2/(1+x^2) dx 公式 1?(1+x^2) dx=arctan(x)+Cより F(x) = x-arctan(x)+C (Cは積分定数)

  • 不定積分の計算で出た定数は捨てて良いのでしょうか

     46歳の会社員です。思うところがあって、1 年前から数学を独学で勉強しています。  非常にレベルが低い質問をしているのかもしれませんが、周りに聞ける人がいないのでここに質問をすることにしました。  不定積分の計算で出てきた定数は積分定数と扱って捨ててよいのでしょうか ?  例えば、 ∫(x + 1)^2 dx ((x + 1)の 2乗を積分) を ∫(x^2 + 2 * x + 1) dx に変形すると、 x^3 / 3 + x^2 + x になりますが、 x + 1 = t とおいて ∫t^2 dt に変形すると、 x^3 / 3 + x^2 + x + 1 / 3 となり、定数 1 / 3 が出てきます。  また、 ∫{2 / (2 * x + 2)} dx を ∫{1 / (x + 1)} dx に変形すると、 log|x + 1| になりますが、 2 * x + 2 = t とおいて ∫(2 / t) * (1 / 2) dt に変形すると、 log|2 * x + 2| になります。  これを log|2 * x + 2| = log|(x + 1) * 2| = log|x + 1| + log|2| と変形すると、定数 log|2| が出てきます。  これらの定数は積分定数として扱って捨ててよいのでしょうか ?

  • 積分のある公式について

    ∫1 / (x^2 + y^2) dx = log (x + (x^2 + y^2)^1/2 ) + C [Cは積分定数] という公式がありますが、 ∫1/ (x^2 + y^2 ) dx = (x^2 + y^2)^(1 - 1/2) * x^(1 + 2) /1 + 2 + C = (x^2 + y^2)^1/2 * x^3 / 3 + C [Cは積分定数] はいけないのでしょうか。 理由を詳しく教えていただければうれしいです。

  • 微分積分について

    微分積分初心者です。 dy/dx=5という微分方程式があって、これの両辺をxで積分すると ∫dy/dx・dx=∫5dx y=5x + C(Cは積分定数)というのはわかるのですが、 dxを右辺に持って行って、 dy=5dxとして両辺を積分する時は、左辺をyで積分、右辺をxで 積分ということになるのでしょうか? こういうことは可能なのでしょうか? また一階微分の時は右辺にdxを持っていくことができますが、 二階微分以上ではできないのはなぜでしょうか? よろしくお願い致します。

  • 不定積分の問題で

    ∫((1/x)+logx)e^x dx (log xは自然対数が底である。)を部分積分や置換積分をやってもうまくいきません。 どのようにしたら解けますか?

  • 定積分の問題

    ∫(0から2){x/(3-x)^2}dxの定積分を求めよ。という問題なんですが、友達にヒントをもらい、部分積分法を使って解いてみました。 ∫(0から2){x(3-x)^-2}dx =[x(3-x)^-2](0から2)-∫(0から2){(3-x)^-2}dx =・・・ と計算していって答えは2-log3になったのですが、どこか物足りないような気がします。こんな単純な計算でいいのでしょうか? 部分積分法なら、最初に何を微分したものかを考えると思うのですが、友達に聞いたところ、これで合ってると言われました。 もしこのやり方が間違っていたら、解法を詳しく教えてください。お願いします。