• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

不定積分

次の不定積分の計算ができません。 ∫e^2x/((e^x)+3)^2 dx の計算ができません。 とりあえず、置換積分すると2回置換しなければなりません。しかも解答と合わない。 解答はlog(e^x +3)+3/e^x +3 +C となっています。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数2
  • 閲覧数309
  • ありがとう数2

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2
  • inara1
  • ベストアンサー率78% (652/834)

解答は log( e^x +3 ) + 3/e^x + 3 + C でなく、log( e^x + 3 ) + 3/( e^x + 3 ) + C ですね。2回置換すればいいです。 e^x = t ( t > 0 ) と置換すると x = log(t) なので、dx = dt/t となります。また    e^(2*x) = ( e^x )^2 = t^2、( e^x + 3 )^2 = ( t + 3 )^2 ですから    ∫ e^(2*x)/( e^x + 3 )^2 dx = ∫ t^2/( t + 3 )^2*dt/t = ∫ t/( t + 3 )^2 dt となります。 t + 3 = s と置換すれば、t = s - 3 なので    dt = ds となります。さらに、( t + 3 )^2 = s^2 ですから    ∫ t/( t + 3 )^2 dt = ∫( s - 3 )/s^2 ds = ∫( 1/s - 3/s^2 ) ds = log(s) + 3/s + C (C は定数 ) となります。つまり    ∫ e^(2*x)/( e^x + 3 )^2 dx = log(s) + 3/s + C --- (1) です。 s = t + 3 なので式(1)は    ∫ e^(2*x)/( e^x + 3 )^2 dx = log(s) + 3/s + C = log( t + 3 ) + 3/( t + 3 ) + C ですが、さらに t = e^x なので    ∫ e^(2*x)/( e^x + 3 )^2 dx = log( t + 3 ) + 3/( t + 3 ) + C = log( e^x + 3 ) + 3/( e^x + 3 ) + C つまり    ∫ e^(2*x)/( e^x + 3 )^2 dx = log( e^x + 3 ) + 3/( e^x + 3 ) + C となります。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答ありがとうございました 改めてやったら出来たので安心しました

関連するQ&A

  • 不定積分。

    置換積分で次の問題をとくには? 「不定積分:∫1/(√(1+x^2))」 を解け」 という 問題なのですが、x=tanθで置換をして もできるらしいのですが(参考書には計算が面倒だができる) どうしても最後まで落とすことができません。 ちなみに参考書では√(x^2+1)+x=tで置換をやっていて、 計算は,√(x^2+1)+x=tとおくと[{x/√(x^2+1)}+1]dx=dt よって{1/√(x^2+1)}dx=(1/t)dt したがって∫1/(√(x^2+1))dx=∫(1/t)dt=logt+C=log{√(x^2+1)+x}+C という結果になっています。 しかし、x=tanθの置換をしたやりかたでは、 どのように計算をしていくのかが分りません。 どなたか、計算手順または解答を教えてください。 よろしくおねがいします。

  • 不定積分の問題

    不定積分の問題ですが、部分積分法で解く問題ですが、考えても解答通りにならないので、ここで質問するに至りました。途中計算等を教えてください。お手数になりますが、どうか宜しくお願いします。 (1)∫x sec^(2)(x) dx 私が解くと、xtanx- sec^(2) + c になります。 (2)∫Tan^(-1)(x)dx (3)∫Sin^(-1) (x/3)dx (4)∫e^(-2x) sin3x dx ↑部分積分法を繰り返してもとめるのですが、どのような切り口で求めるのかが分かりませんでした。 答え (1) x tan(x) + log | cos(x) | + C (2) xTan^(-1) (x) - (1/2)log{x^(2) +1} + C (3) xSin^(-1) (x/3) + √(9-x^(2)) + C (4) {-e^(-2x)/13 } (2sin3x + 3cos3x ) + C

  • 定積分、不定積分

    解析。以下の問題教えてください 次の定積分、不定積分を求めよ。(2)は上端にπ/6下端に0です (1)∫xe^(2x) dx (2)∫π/6 xsin3x dx 0 (3)∫x^3log dx (4)∫x^2e^(2x) dx

その他の回答 (1)

  • 回答No.1

こんばんわ。 >とりあえず、置換積分すると2回置換しなければなりません。 これで計算できると思いますよ。^^ 1) まずは、e^x= uと置いて置換 2) 置換した後の被積分関数の形を見ると、(1次式)÷(2次式)の形になっているので、 ∫ f '(x)/f(x) dx= log|f(x)|+ C の式が使える形に変形します。 3) 2)の変形をしたときに「お釣り」になる部分があるので、それについて置換をおこないます。 置換っていうほどの変形でもないのですが。 いろいろと式をこねくり回してみてください。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答ありがとうございました

関連するQ&A

  • 不定積分

    この不定積分が解けません。 (1)∫5/(2x^2-7x+3)dx (2)∫dx/x(logx)^2 こたえは(1)loglx-3/2x-1l+C (2)-1/logx+Cなんですが わかりませんでした。 わかるかたは教えてくださいませんか?

  • 不定積分について

    大学の微分積分でてきた問題(答えが無い) で(2X+3)/X^2+9を不定積分しろとあったのですが 分子が分母を微分した結果にならないからlogで積分できないし 部分分数にすることもできずまた分子を分母でわることもできず 積分ができなくて困っています それと(X-1)log(X+1)dxの不定積分とe^2xcosxdxの不定積分を 部分積分法を使ってやってみたのですが何回くりかえしても 式が展開されるだけで困っています

  • x/(a^2+x^2)の積分について

    x/(a^2+x^2)の積分について t=a^2+x^2とおいて dt=2xdx よって ∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫(1/t)dt=(1/2)*log(t)+C と置換積分により積分することが出来ますが、 部分積分では計算できないのでしょうか? (a^2+x^2)'=2x ∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫[(1/(a^2+x^2))*(a^2+x^2)']dx として計算できると思ったのですが、うまく行きません。 どなたかアドバイス頂けたら幸いです。

  • 不定積分

    この問題教えてください。 次の不定積分を求めよ。 1. (2x+3)^2 dx 2. 1/x^5 dx 3. √x dx 4. 1/√x dx 5. x^5-4x^4+2x^2-6/x^3 dx 6. 1/x^2+9 dx 7. 2x+1/x^2+x+1 dx

  • 不定積分がわかりません

    次の不定積分がわかりませんのでお教えください。 ◎ ∫[1/{(x+a)(x+b)}]dx です。 この問題は、∫{1/(x+a)}dx-∫{1/(x+b)}dx =log|x+a|-log|x+b|=log{(x+a)/(x+b)}じゃないんでしょうか。解答は、1/(b-a)log{(x+a)/(x+b)}と書いてあったのですが、どういうことでしょうか。 ◎ ∫[x/{(x+a)(x+b)}dx これも上記と同じやり方でやったのですができませんでした。教えてください

  • 以下の不定積分ができません

    dx/√(2x^2-1)(インテグラルの記号がわかりませんが不定積分です)を求めよ。という問題がわかりません (1)まず分母の√2をくくり出して√(x^2-1/2)としてから不定積分の公式?を用いると 1/√2×ln{x+√(x^2-1/2)}+Cとなります。 (2)しかし、ln{√2x+√(2x^2-1)}の微分が√2/√(2x^2-1)であることから求めると 1/√2×ln{√2x+√(2x^2-1)}+Cとなります。解答にもこちらが載っています (1)はどこか間違えているのでしょうか?

  • 大学の不定積分について

    レポート課題の以下の問題がわかりません、よろしくお願いします<(_ _)> ・次の関数の不定積分を求めよ。 x/(-6+5x-x^2)^(1/2) ・次を示せ。 1)∫(tan(x))^n dx=(tan(x))^(n-1)/(n-1)-∫(tan(x))^(n-2) dx (n≧2) 2)∫(log(x))^n dx=x(log(x))^n-n∫(log(x))^(n-1) dx (n≧1) 3)I_n=∫{sin(nx)/sin(x)}dxとしたとき、(n-1)(I_n-I_(n-2))=2sin(n-1)x (n≧2) 解答は答えだけでなく、導く過程もよろしくお願いします。

  • 不定積分

    ∫{(2x+3)/(x^2-x+1)}dx  を解けです。 ∫{(2x-1+4)/(x^2-x+1)}dx =∫{(x^2-x+1)'/(x^2-x+1)}dx+∫{4/(x^2-x+1)}dx =log(x^2-x+1)+4*∫{1/(x^2-x+1)}dx 上記の式までは分かるのですが・・・。 ∫{1/(x^2-x+1)}dx の不定積分が分かりません。 途中式もあっているか確信はありません。 申し訳ございませんがよろしくお願い致します。

  • 不定積分の問題について

    写真の問題が検算すると間違っているようですが、積分が違うのか微分が違うのかわかりません。どこが間違っていますか? 問題は、 ∫(2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 3x - 2)/(x^3 - x^2 + x - 1) dx です。 計算すると、答えが x^2 - x + log((x^2 + 1)^(1/2)/(x - 1)^2) + arctanx + C(積分定数) になりました。 でもこれを微分すると (2x^4 - 3x^3 + 2x^2 -2x -2)/(x^3 - x^2 + x - 1) になります。 問題では分子のxの係数は-3だけど計算では-2になってしまいます。

  • (1)∫sin^2dxの不定積分を求めよ

    (1)∫sin^2dxの不定積分を求めよ (2)x=sintと置換して∫√1-x^2dxの不定積分を求めよ (3)4x(1-x)=1-(2x-1)^2を利用して、 ∫dx/√x(1-x)=∫2dx/√4x-4x^2の不定積分をを求めよ