積分の問題が分からないで困ってます。

質問

積分の問題が分からないで困ってます。
分かる方教えてくださいｍ（_ _）ｍ
（１）∫1/(x^4-x^3-x+1) dx
部分分数分解を使うと思うのですが、出てきた(x+1)/(x^2+x+1)の積分ができないで詰まってしまいました。
（２）∫1/{x√(x^2+2x+1)dx}
まったく分かりません

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

(1)
＞部分分数分解を使うと思うのですが、出てきた(x+1)/(x^2+x+1)の積分ができないで詰まってしまいました。

　その方針でOKです。
　(x+1)/(x^2+x+1)の積分は
　　(x+1)/(x^2+x+1)=(x+1/2)/{(x+1/2)^2+3/4} + (1/2)/{(x+1/2)^2+3/4}
と分解して　t=x+1/2 と置換してください。
　∴(x+1)/(x^2+x+1)=t/(t^2+3/4) +1/{2(t^2+3/4)}

　t/(t^2+3/4)　の積分はできると思いますので、1/{2(t^2+3/4)}の積分の説明をします。
　t=√3/2 tanθ と置換してください。

　積分した結果は次のようになると思います。
　　log(x^2+x+1)/6+arctan{(2x+1)/√3}/(3√3)-log(x-1)/3-1/(3x-3)

(2)
＞∫1/{x√(x^2+2x+1)dx}

　記述に誤りはありませんか？
　もしこれで正しいとすれば、√(x^2+2x+1)=|x+1| ですので　x＜-1 と -1＜x で分けて積分することになると思います。

　これも部分分数分解して次のようになると思います。
　　x>-1のとき　 log|x/(x+1)|
　　x<-1のとき　-log|x/(x+1)|

お礼

ありがとうございます。ｍ（_ _）ｍ
（２）ですが、∫1/{x√(x^2+2x+1)dx}ではなく、∫1/{x√(x^2+2x-1)dx}でした＾＾；