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この積分って？？
広義積分なんですけど部分分数分解ができない。 ほかに手段はありませんか。 ∫ from 0 to ∞, 1/(x^4+1) dx です。お願いします。
- kattann007
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- LHS07
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基本的な問題ですので例題を何回も読めばわかると思いますが・・・。
- maiuumaiuu
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部分分数分解できます. 分母は x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2 =(x^2+1+√2 x)(x^2+1-√2 x) と因数分解できます. 後は 1/(x^4+1) =(ax+b)/(x^2+√2 x +1) + (cx+d)/(x^2 -√2 x +1) とおいて未定係数法で a, b, c, d を求めます. もちろん関数論を使ったほうが楽ですが.
- pyon1956
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つっこみでもうしわけないのですが・・・・・ 特異点はz^4=0ではなくてz^4=-1をみたすzで、第一象限のはz=(1+i)/√2ですね。あとは#1～３の方の仰るように。
- yoo_20052005
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たびたび申し訳ないです（恥ずかしい…） NO.2は無視してください。 f(x)=1/(x^4+1)は偶関数なので-∞から+∞までの積分をNO.1の通りに計算していけばOKです。失礼いたしました。
- yoo_20052005
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NO.1を投稿したものですが、少し訂正します。 ∫_(上半平面)1/(z^4+1)dz ではなくて ∫_{第一象限}1/(z^4+1)dz ですね。ちなみに第一象限ないには特異点は一位の極が一つのみです。よってそこ点での留数を計算すれば答えはすぐに出ます。
- yoo_20052005
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関数論はご存知ですか？留数定理に持ち込めば計算できます。まずは特異点を求めましょう。つまり z^4=0 をみたすz (複素数)を求めましょう。これは4つあります。 そこで∫_(上半平面)1/(z^4+1)dzを留数定理を用いて計算することにより、答えを導けます。 これは複素積分を利用して解く方法ですが、もっと他にも置換等で解けるのかもしれません。
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