広義積分の計算方法に関して

質問

以下の広義積分の計算のヒントを教えて下さい。
∫[ from －∞ to ∞]xe^x/(e^x+1)^2dx=0
∫[ from －∞ to ∞]x^2e^x/(e^x+1)^2dx=－π^2/3

回答No.2

spinflip · ベストアンサー

二つ目ですが答は、＋π^2/3 です。
方法は二通りあります。どちらでも良いと思いますが、
最初の方法は、任意のxのべきについて一度に結果がわかります。
但し、複素積分を知らないと出来ません。二つ目は、比較的、
初等的な方法で計算できます。

1)与式の代わりに、∫exp(-ikx)/e^x/(e^x+1)^2dx
を複素積分(上半平面の半円)で留数を使って計算(二次の留数の
無限個の和になります)して、k^2の係数を拾う。

2)偶関数なので積分範囲を0～∞にして、積分変数を
y=e^-xと変換して、分母(1+y^2)^-1をテイラー展開
すれば、項別に積分可能になって、結果は、
I=4×(1－1/2^2＋1/3^2－1/4^2....)
となります。これと、S=1＋1/2^2＋1/3^2＋1/4^2....
をよく眺めて比較すると、T=2Sとわかります。
Sは、二乗の逆数べきの和ですからよく知られているように
π^2/6です。

お礼

有難うございます。複素積分は知っているので１番の方法をもう少し具体的に教えて下さい。
２番は部分積分してx^2を無くしてから変数変換するということですか？
回答お願いします！

補足

＞1)与式の代わりに、∫exp(-ikx)/e^x/(e^x+1)^2dx
を複素積分って
与式の代わりに、∫exp(-ikx)e^x/(e^x+1)^2dx
を複素積分
の間違いですよね？

回答No.12

spinflip

ちょっと曖昧な書き方をしてしまいましたが、
「xの大きなところ」とは、x→∞の付近と
思って下さい。いくら収束半径が∞でも
ほんとにx=∞を入れたら(1＋∞－∞＋∞－∞...)
となってしまいます。
すると、どの項も∞なので「kのべき」で比較したり分離
したりできないということなのでないでしょうか。
(私は数学屋でないので、大抵こういうイメージ
で済ませてしまっています。)

お礼

しつこい程の質問に付き合って頂き、本当にありがとうございました(^^)
やっぱり∞っていうものは注意しないといけないんですね。お世話になりました!また何か分からないことがあったらよろしくお願いします！

回答No.11

spinflip

指数関数e^(-x)をテイラー展開して良いのは、
|x|が小さいときだけですから、e^{-kπ(2n+1)}
は、nが大きいときには展開してはいけないのです。

お礼

ありがとうございます。有限の収束半径をもつ関数ではその事は素直に納得できるのですが…

補足

…f(z)=e^(-z)はすべてのｚに対して解析的(正則、整型)なので少し素直に納得しずらいです。でも、spinflipさんの言葉を拡張すると、e^∞という不定なゆらぎのある要素を扱っている時点で値が不定になるのは当然で、この不定の要素を無くすにはやはりk＞０という条件を付け加えて等比級数の公式を用いてしかも不定な∞の要素を無くすように計算していかないといけないという事でしょうか？でもそうだとするとｋ＜０としてしまうと左辺∫[ －∞ to ∞ ]e^(ikx)e^x/(e^x+1)^2dxは有限の値になるのに右辺は当然のように発散してしまうんですね。でもこの場合にも右辺に留数が無限大個という要素が入っているため不定な結果が出てきてしまう。
　結論です。当たり前の事かもしれませんがどんな計算にしろ不定な要素∞というものが式中に出てきてしまってそれを最終的に無くすことができなければ正しい結果は得られないということでしょうか？？

回答No.10

spinflip

ポイントは、指数関数を三次まで展開することだと思いますが。

与式：2πke^(-kπ)／[1-e^(-2kπ)]
＝2πk／[e^(+kπ)-e^(-kπ)]
● 指数関数を、(kπ)の３次まで展開して、
≒2πk／[1+(kπ)+(kπ)^2/2+(kπ)^3/6－(1+(-kπ)+(-kπ)^2/2+(-kπ)^3/6]
＝2πk／[2・(kπ) ＋ 2・(kπ)^3/6]
＝1／[1+(kπ)^2/6]
● 1/(1+X)をXの１次まで展開して、
≒1－(kπ)^2/6
と結果が得られます。ご検討ください。

お礼

ありがとうございます。そのように計算すればうまくいくんですね。でも不思議です。

2πk／[e^(+kπ)-e^(-kπ)]
＝πk/sinh(πk)
＝πk/〔πk+(πk)^3/3!+(πk)^5/5!+…〕
＝1/〔1+{(πk)^2/3!+(πk)^4/5!+…}〕
＝Σ[ n=0 to ∞ ](-1)^n{(πk)^2/3!+(πk)^4/5!+…}^n
＝1-{(πk)^2/3!+(πk)^4/5!+…}
+{(πk)^2/3!+(πk)^4/5!+…}^2
-{(πk)^2/3!+(πk)^4/5!+…}^3
+{(πk)^2/3!+(πk)^4/5!+…}^4
+…
＝1-(πk)^2/3!+…
という風に計算すればうまく係数も有限の数になるのになんで
2πkΣ[ n=0 to ∞ ]e^{-kπ(2n+1)}
=2πkΣ[ n=0 to ∞ ]{1-kπ(2n+1)
　　＋(1/2)k^2π^2(2n+1)^2＋…}
のように展開すると係数が発散してしまうのでしょうか？
しかもこのように計算すると、kの係数も0ではなくなっています…

補足

spinflipさんでもこの謎（計算の仕方によって異なる結果が得られてしまう)が解決できなかったらこれは改めて質問すべきだと思うのでそうしようと思います。

回答No.9

spinflip

すみません、上半平面を廻るのであれば、e^(-ikz)でなく、
e(+ikz)でした。(e^(-ikz)でも、下半平面を廻る経路を選択すればOKですが)。
そうすれば、=2πiΣ[ n=0 to ∞ ]lim[ z→x_n ]{-ike^(+ikz)}
＝2πkΣ[ n=0 to ∞ ]e^{-kπ(2n+1)}
となりますから、
＝2πke^(-kπ)／[1-e^(-2kπ)]
と収束しますよね。お疲れ様でした。

お礼

ありがとうございました。まだお疲れ様ではない所がこの問題の難点で、補足に書いておきます。それはk>0かk<0の違いなので問題ないのですが、大問題はTaylor展開です。

補足

そういう意味の収束ではなく、Taylor展開の際にkのべきの係数が発散してしまうという問題が起こっているんですよね。
2πke^(-kπ)／[1-e^(-2kπ)]
のTaylor展開どうなりますか？
たぶん係数が発散してしまうと思います。自分の計算がどこかおかしいと思うのですが、spinflipさん一度Taylor展開やってみて下さい。もし発散しないでうまく出来たなら途中の計算過程を教えて頂きたいです。う～んなんでうまくいかないのかなぁ。

回答No.8

spinflip

>>e^(-kπ)の部分はTaylar展開して、
>>e^{(-2kπ)^n}の部分は等比級数で計算してから、

e^(-kπ)はそのままで等比級数で計算してから、全体を
テイラー展開した方がわかりやすいと思います。
ただ、ともかくk^2の係数を正確に拾い出すだけですから、
提示された方法でももちろんかまいません。
あと一息ですね。頑張って下さい。

お礼

ありがとうございます。最後の最後で難関にぶち当たりました。補足回答よろしくお願いします。

補足

等比級数はする必要がなかったようです。x_n=π(2n+1)iとして
2πiΣ[ n=0 to ∞ ]lim[ z→x_n ](d/dz)[e^(-ikz)(x-x_n)^2/[(e^x-1){e^(-x)-1}]
=2πiΣ[ n=0 to ∞ ]lim[ z→x_n ]{-ike^(-ikz)}
=2πkΣ[ n=0 to ∞ ]e^{kπ(2n+1)}
=2πkΣ[ n=0 to ∞ ]{1＋kπ(2n+1)
　　＋(1/2)k^2π^2(2n+1)^2＋…}(∵Taylor展開)
こうなって次計算しようと思ったんですけど、
Σを計算すると発散してしまいます。
どうすればよいのでしょうか？

回答No.7

spinflip

まず、x_nの二次の留数を求める段階で、微分と極限計算(x→x_n)は
間違いないでしょうか。
x_nの二次の留数は、(d/dx)[e^(ikz)(x-x_n)^2/[(e^x-1)(e^-x-1)]]
=ik・e^(-kπ(2n+1))
となっているはずです。微分してから、極限を取ることと、分数の微分
計算なので結構、複雑な形になることに注意してみてください。

それから、与式の代りに・・・のことですが、代りに計算するという意味は、
e^{-ikx}=1－ikx＋(1/2)(－ikx)^2＋・・・
なので、k^2の係数を拾えば、x^2の計算をしたのと同じになるわけです。
もちろん、(-1/2)で割ってやらないといけませんが。

なお、定数項は、分子が1の計算、kの係数は、分子がxの計算、、、とな
っています。

お礼

ありがとうございます。Taylar展開をしすぎで意味のない式になってました。e^(-ikx)の項だけをTaylar展開しないと意味ないですね(^^;)
もう一回やってみます。

補足

x_nの留数ik・e^(-kπ(2n+1))から
　　　　2πiΣ[ n=0 to ∞ ]ik・e^(-kπ(2n+1))
を計算する際に、
　　ik・e^(-kπ(2n+1))=ik・e^{(-2kπ)^n}・e^(-kπ)
として、e^(-kπ)の部分はTaylar展開して、e^{(-2kπ)^n}の部分は等比級数で計算してからその結果をTaylar展開するって感じでいいでしょうか？

回答No.6

spinflip

>一番の複素積分の方法で計算したら以下の式が得られました。
>Σ( p=0 to ∞ )Σ( m=0 to ∞ )∫[ －∞ to ∞ ]
>(－1)^(m+p)・(p+1)(m+1)e^{-(ik+2+p-m)x}dx
すみませんが、この式はよくわかりません。
私が複素積分で、と申し上げたのは留数定理を使うという
ことです。
これは、∫_{上半平面周回経路}＝∫_{上半平面の半円}＋∫_{-∞～+∞}
ですから、まず右辺の第一項＝0（半径∞の円を考えれば被積分関数＝0です)
となります。次に、留数定理を使うと、
左辺＝上半平面周回経路に含まれる留数の和
＝2πi・Σ_{n=0～∞}(d/dx){(x-x_n)^2(被積分関数)}｜_{x=x_n}
＝2πi・Σ_{n=0～∞}・[-ikexp(-kπ(2n+1))]
となります。
但し、x_n＝π(2n+1)iは2次の特異点
(一次の特異点の場合は、微分は無くて、単に(x-x_n)をかけるだけです。
この和は、等比級数ですから簡単に計算でき、結局、＝kπ/sinh(kπ)
となります。これをさらに、kについて0の周りでテイラー展開して、
k^2の係数を拾うのです。

P.S.
よくフォローしていただき、ありがとうございます。それから、
d/dxの表記は場合に応じて偏微分と読み替えて下さい。

お礼

ありがとうございます。
＞2πi・Σ_{n=0～∞}・[-ikexp(-kπ(2n+1))]
になるんですよね？
僕は
-2πiΣ[ n=0 to ∞ ](ik+2)e^{-kπ(2n+1)}
になったんですけど最初のspinflipさんの書かれた式
＞1)与式の代わりに、∫exp(-ikx)/e^x/(e^x+1)^2dx
を複素積分
って間違ってますか？

回答No.5

spinflip

2)についてですが、
∫_{x=0～∞} x^2・exp(-x)/(1+exp(-x))^2・dx
＝∫_{x=0～∞} Σ_{n=1～∞} n・x^2・{-(-1)^n}・exp(-x)^n・dx
＝Σ_{n=1～∞} n・{-(-1)^n}／(n^3)
となり、nと1/n^3がキャンセルして、1/n^2となるはずですが、、、。

1)については、
z＝ln(a)＋δ とおいてやると(δ＝微小量とします)、
e^z-a＝e^{ln(a)＋δ}－a＝a・e^δ－a≒a・(1+δ)－a＝a・δ
ですから、zが特異点に非常に近いところでは、
(e^z-a)^n ∝ δ^n
となると考えて良いのです。

お礼

ありがとうございます。計算が足りなかったようです(^^;)
I=Σ[ n=0 to ∞ ](-2 n)4/(n+1)^3
で、
(-2 n)=(-2)・(-3)…(－n)・[－(n+1)]/n!
=(－1)^n×(n+1)
より無事に
I=Σ[ n=0 to ∞ ](－1)^n×(n+1)×4/(n+1)^3
=Σ[ n=0 to ∞ ](－1)^n×4/(n+1)^2
=4×[1-1/2^2+1/3^2-1/4^2+…]となりました。
一方、
S=[1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…]=π^2/6　
（これはフーリエ級数と偶数、奇数項を使ってうまく求めれる。また、Sa(x)を使っても求めれる。）

I=4×[(1+1/3^2+1/5^2+…)-(1/2^2+1/4^2+1/6^2+…)]
=4×[(1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…)
　　　　　　-2×(1/2^2+1/4^2+1/6^2+…)]
=4×[S-2×(1/2^2)(1+1/2^2+1/3^2+…)]
=4×[S-S/2]=2S=π^2/3
できました(^^)

次は１番に挑戦します。
要は特異点近傍では(e^z-a)^n ∝ δ^n=(z-lna)^nとzのn次の項とみなしてよいという事ですね？

補足

∫[ －∞ to ∞ ]exp(-ikx)/e^x/(e^x+1)^2dx
=∫[ －∞ to ∞ ]exp{-(ik+2)x}/(e^x+1)/{1+e^(-x)}dx
を一番の複素積分の方法で計算したら以下の式が得られました。
Σ( p=0 to ∞ )Σ( m=0 to ∞ )∫[ －∞ to ∞ ]
(－1)^(m+p)・(p+1)(m+1)e^{-(ik+2+p-m)x}dx
=-2πiΣ[ n=0 to ∞ ](ik+2)e^{-kπ(2n+1)}

ここからどのようにすればよいですか？式が複雑でこれで正しいのかちょっと不安なのですが…。

回答No.4

spinflip

1)は、全体をe(-2x)で割ってやると、e^x/{(e^-x+1)(e^x+1)}
の形になりますから、分母＝0と置くと、exp(±x)=-1なので、
x=π(2n+1)i が特異点の位置となります。二つの項が同時に
ゼロになるので二次の留数というわけです。
積分経路は上半平面ですから、虚軸の上側の留数n=1,2,...+∞
全部の和を求める必要があります。
ちょっと面倒なようですが、統計力学の有名な公式を求めるとき
の定番になっていますので、よく知られていたものであると思います。

なお、
2)は、変数変換してからテイラー展開して、Σ_{n}∫x^2exp(-nx)
の形に持ち込みます。

お礼

ありがとうございます。●2番目の方法で行ったら
I=Σ[ n=0 to ∞ ](-2 n)4/(n+1)^3
という結果が得られてspinflipさんのIと違ってしまっているのですが…！？
ちなみに、(-2 n)は二項級数の係数を表しています。本当は縦に-2とnを並べたいけどできないのでこの表示で書きます。
●一番目の方法で質問です。(z-a)^nという形が分母に来ているときはn位の極とか分かるんですが(e^z-a)^nというのがn位の極となれるのがいまいち理解できないので教えて下さい。

回答No.3

spinflip

ミスタイプしました。

>>をよく眺めて比較すると、T=2Sとわかります。
I=2Sとわかります

です。ご検討ください。

お礼

ミスタイプの訂正ありがとうございます。複素積分をいざやろうとしたんですが、分母が(z-a)の形でなく(e^z-a)の形なので留数を求めようとしたらよく分からなくなってしまいました(^^;)