不定積分の解き方がわかりません。

質問

不定積分の解き方がわかりません。

(1)I=∫(2x+3)/(x^2+2x+2) dx

(2)I=∫x/{(x+1)^(1/3) -1} dx

２番は、
{(x+1)^(1/3)=t
として、
x+1=t^3
x=t^3-1
よって、
dx=3t^2 dt
となって、

I=∫{(t^3-1)/(t-1)}* 3t^2 dt
まではできたのですが・・・・
これからどう展開すればいいのかわかりません　(>_<)

どなたかお願いします。

回答No.2

i536 · ベストアンサー

(1)は、t=x+1 とおけば解けます。

∫(2x+3)/(x^2+2x+2) dx
=∫(2t+1)/(t^2 +1)dt
=∫2t/(t^2 +1)dt + ∫1/(t^2 +1)dt
=log(t^2 +1) + arctan t + c
=log(x^2 +2x+2) + arctan(x+1) + c

(1)は、 #1のkony()さんのアドバイス
因数分解 t^3-1=(t-1)(t^2+t+1)を使うに従うと、下記のように解けます。
あとはt=(x+1)^(1/3)を(1)に代入するだけです。

∫{(t^3-1)/(t-1)}* 3t^2 dt
=∫(t^2+t+1)*3t^2 dt
=3∫(t^4+t^3 +t^2) dt
=3((t^5)/5 + (t^4)/4 + (t^3)/3 ) + c ---(1)

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

kony0

(1)は（被積分関数）={2(x+1)+1}/{(x+1)^2+1}
と変形して、(x+1)=tanΘとか置くんじゃないでしょうか？

(2)は、そこまで行けば、{(t^3-1)/(t-1)}=(t^2+t+1)を使えばよいのでは？

お礼

回答ありがとうございました。