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不定積分の解き方がわかりません。

不定積分の解き方がわかりません。 (1)I=∫(2x+3)/(x^2+2x+2) dx (2)I=∫x/{(x+1)^(1/3) -1} dx 2番は、 {(x+1)^(1/3)=t として、 x+1=t^3 x=t^3-1 よって、 dx=3t^2 dt となって、 I=∫{(t^3-1)/(t-1)}* 3t^2 dt まではできたのですが・・・・ これからどう展開すればいいのかわかりません (>_<) どなたかお願いします。

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  • i536
  • ベストアンサー率32% (75/231)
回答No.2

(1)は、t=x+1 とおけば解けます。 ∫(2x+3)/(x^2+2x+2) dx =∫(2t+1)/(t^2 +1)dt =∫2t/(t^2 +1)dt + ∫1/(t^2 +1)dt =log(t^2 +1) + arctan t + c =log(x^2 +2x+2) + arctan(x+1) + c (1)は、 #1のkony()さんのアドバイス 因数分解 t^3-1=(t-1)(t^2+t+1)を使うに従うと、下記のように解けます。 あとはt=(x+1)^(1/3)を(1)に代入するだけです。 ∫{(t^3-1)/(t-1)}* 3t^2 dt =∫(t^2+t+1)*3t^2 dt =3∫(t^4+t^3 +t^2) dt =3((t^5)/5 + (t^4)/4 + (t^3)/3 ) + c ---(1)

sakuhana1106
質問者

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その他の回答 (1)

  • kony0
  • ベストアンサー率36% (175/474)
回答No.1

(1)は(被積分関数)={2(x+1)+1}/{(x+1)^2+1} と変形して、(x+1)=tanΘとか置くんじゃないでしょうか? (2)は、そこまで行けば、{(t^3-1)/(t-1)}=(t^2+t+1)を使えばよいのでは?

sakuhana1106
質問者

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