積分法の問題（大学受験）

質問

現在、「積分」の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

問題は「次の定積分の値を求めよ。
∫（1→2）(x-1)(x-2)dx」
です。

解答は-1/6となっています。私は、1/6だと思います。そもそも積分は面積を求めるので、答えは常に正になると思うのですが、解答は－になっています。どうしてでしょうか。とても単純で、いまさらな質問なのですが、質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。

回答No.9

Rossana · ベストアンサー

☆ANo.3に対する補足回答
>S=－|p|∫（α→β）(x-α)(x-β)dx=|p|/6(β-α) ^3
>とありました。
ここで，Sはおそらく面積をSとおいたということでいいですよね．
まず，この式自体について丁寧に見てみましょう．
ANo.3で上引く下をすればできると言いました．
でも，この場合f(x)とg(x)のどちらが上か不明(∵pの符号が不明)ですね．
f(x)-g(x)=p(x-α)(x-β)
ですから，pの符号が正でも負でもいいように今回は絶対値を使います．絶対値はこういう不明な時に役立ちますね．
面積を出す場合は
S＝∫（α→β）|f(x)－g(x)|dx
＝|p|∫（α→β）|(x－α)(x－β)|dx　…　(1)
ここで，
(x－α)(x－β)というのはα≦x≦βの積分範囲では
(x－α)(x－β)≦0ですから，
|(x－α)(x－β)|＝－(x－α)(x－β)
となります．これを(1)式に代入して
S＝－|p|∫（α→β）(x－α)(x－β)dx
＝－|p|{－(1/6)(β－α)^3}
＝(|p|/6)(β－α)^3
という式が出てきました．この式は絶対値を用いたのでf(x)とg(x)のどちらが上か下かに限らず使える式です！！この式は常に正となります．

一方，∫（α→β）(x－α)(x－β)dxという式の値は常に負となります．違いが分かりますか？？

>つまりS=|p|/6(β-α) ^3ならば、
>この問題では、p=1で、
>S=1/6(1) ^3=1/6としました。
これはその通りでいいです．

☆最初の質問について
>そもそも積分は面積を求めるので、答えは常に正にな
>ると思うのですが
みなさんが言われるように，
(定積分)＝(面積)ではありません．
こういう表記はあまりよくないのですが，敢えて表記すれば
(定積分)＝±(面積)ということになるでしょう．
定積分は正にも負にもなりますが，面積は必ず正なのです．ここに，注意して下さい．
また，何か分からない事があったら質問して下さい．分かるまで，どんどん質問して下さい．分からない事を分かった気になるのが一番怖いです．完全に理解してしまいましょう．

お礼

Rossana様、度々ご丁寧な回答をいただきありがとうございました。
実は私はRossana様の回答を読ませてていただいても自分の矛盾に気づきませんでした。つまり積分の話をしているのに、私は積分の公式だと思って、実際には面積の公式を出してしまっていたのですね。それにずっと気づかなくて、Rossana様の回答を読ませていただいてから、「違いが分かりますか？？ 」の問いに「なにとなにの違い？」と延々と今まで五時間以上も考えていました…。やっと定積分と面積の違いがわかりました。今♯3の回答を読ませていただくと意味が大変よくわかりました。本当にありがとうございました。

それ以上に私の今回の疑問は「どうして定積分の結果がマイナスになるのか？」でした。それに関しては「 (定積分)≠(面積)」に帰結されますね。だからこそ、定積分の結果は常に正ではない、ということですね。

今回は思った以上にみなさんから御回答をいただくことができ、自分で深く考えることができました。お忙しいところ、本当にありがとうございました。また質問をさせていただくことがあると思いますが、宜しくお願いいたします。

回答No.11

rosumesuta

こんにちは！
実は私も受験生です！

私なりの理解の仕方なのですが・・・
この積分の面積の部分を図示してみると、求める面積ってX座標の下側、つまりマイナス部分に位置しますよね？だから、マイナスがつくんです。

どうでしょう？
納得できましたか？

お礼

御回答いただきありがとうございました。

回答No.10

Rossana

☆ANo.3に対する補足回答＋α
絶対値を使わない場合を自分で考えてみて下さい．
次のように場合分けをします．
[(1)]f(x)：上，g(x)：下(⇒f(x)>g(x)⇒f(x)-g(x)>0)のとき
S=∫（α→β）{f(x)－g(x)}dx←"上"－"下"をやった．
[(2)]f(x)：下，g(x)：上(⇒f(x)<g(x)⇒f(x)-g(x)<0)のとき
S=∫（α→β）{g(x)－f(x)}dx←"上"－"下"をやった．

このように場合分けすればいいのです．でも，絶対値を使わない方が面倒くさいことが分かりますね．

お礼

Rossana様、絶対値を使わない場合の方法も納得がいきました。自分で使えるようにしたいと思います。今回は、私の稚拙な質問に御回答いただきありがとうございました。

回答No.8

kurobe3463

積分の定義は面積ではありません．「面積」という言葉を強いて用いれば面積に符号がついたものになります．
積分の定義は，積分区間を細かく分けて，それぞれの横幅と関数値（縦）をかけたものの総和の極限です．
関数値はマイナスにもなります．

関数値がプラスならばx軸と関数に挟まれた部分の面積に等しくなります．
マイナスなら，面積にマイナスをつけたものに等しくなります．

この問題の積分では関数値はすべてマイナスで，それに横幅をかけてもマイナス．マイナスをすべて足して答えの積分はマイナスです．

お礼

kurobe3463様、御回答いただきありがとうございます。
積分の定義は面積ではないのですね。再度、確認しなおしました。ありがとうございました。

回答No.7

winterofmeei

いろいろ回答されている方がいて、もしかしたらもう解決しているのかもしれませんが気になったので……

> そもそも積分は面積を求めるので、答えは常に正になると思うのですが、解答は－になっています。

そもそも積分は面積を求めるものではありません。単に面積を求めるのに利用できるというだけです。

> でも、♯３の方のお礼欄にも書かせてもらいましたが、図形的に考えるとうん？となってしまうのです。上－下をすると＋になりますし。

直感的に理解しやすいように図示するだけであって、これは本質ではありません。図だけで理解しようとすると、例えば「積分の値は必ず正になる」というような間違った解釈をする場合もありますね。

お礼

winterofmeei様、御回答いただきありがとうございました。今回は、私が「定積分＝面積を求める」と定積分の定義を間違って解釈していたのが間違いのもとでした。定積分は、ただ単に面積を求めているのではなく、面積を求める方法の一つということですね。

「直感的に理解しやすいように図示するだけであって、これは本質ではありません。」定積分の定義を再確認させていただきました。ありがとうございました。

回答No.6

mirage70

回答は出しているのでは?
#3のお礼の中から
∫(1→2)(- x＾2+3x-2)=1/6を出しています。
∫(1→2)(- x＾2+3x-2)=-∫（1→2）(x-1)(x-2)dx
=1/6
よって、∫（1→2）(x-1)(x-2)dx=-1/6
問題は、積分の計算をしなさいと謂うことで、
面積を求めるときには、
計算をした結果、マイナスに出るときには、
面積であるから正にもっていくために、全体にマイナスを付ければよいと考えれば?

お礼

mirage70様、御回答ありがとうございました。
面積と定積分の違いを再確認いたしました。ありがとうございました。

回答No.5

BLUEPIXY

>そもそも積分は面積を求めるので、答えは常に正になると思うのですが
例えば、ｙ軸を速度、ｘ軸を時間とした時、
速度がある区間適当に変化した場合、積分することで、移動距離を出すことができます。
速度がマイナスであると言う時には、逆方向に走っているのであって、その移動距離（積算）は、基準の位置からマイナスになります。
マイナスの時やプラスの時を含めて総合積算した移動距離は、＋の方向に走った距離から－の方向に走った距離を引いたモノになるのは、わかりますよね。
東に１００ｋｍ移動して西に１００ｋｍ移動したら、実質移動距離は０になるというようなことです。
その場合、実際に移動した距離は、２００ｋｍであるということを求めたい場合には、絶対値の積分をとることになります。あなたのいわれる面積は＋になるべきだというのはこういうような意味だと思います。
＃３のお礼に書かれている上から下の場合は、まさにあなたの言う面積を求めているのであり、質問の積分の答えとは違います。（ｙ＝０を基準に積分している（これを引かなくてはならない）のに、手順として、これから引くのは、符号を反対にしているだけです。

お礼

BLUEPIXY様、私の間違いをご指摘いただきありがとうございました。私は、「定積分＝面積」と思っていたところがあります。かつ定積分の話をしているのに、♯3のお礼欄に書かせていただいた公式は、面積を求める公式でした。

「＃３のお礼に書かれている上から下の場合は、まさにあなたの言う面積を求めているのであり、質問の積分の答えとは違います。」この矛盾になかなか気づきませんでした。すいませんでした。

御回答いただきありがとうございました。

回答No.4

noname#175206

ここが間違い。

>そもそも積分は面積を求めるので、答えは常に正になると思うのですが、解答は－になっています。どうしてでしょうか。

面積にも正負があるのです。基準である0より下はマイナスなのです。
だから、例えばサインカーブの積分は1周期で０になるのです。半周期は正、残りは同じサイズでも負。
貯めるだけが積分ではなく、マイナスである借金も計算するのが積分であるとも言えます。

お礼

cozycube1様、御回答いただきありがとうございました。「マイナスである借金も計算するのが積分であるとも言えます。」ここの理解が不足していました。大変参考になりました。ありがとうございました。

回答No.3

Rossana

∫（α→β）(x-α)(x-β)dx＝－(1/6)(β－α)^3
という公式はご存知ですよね．
この値は負です．
なぜならy=(x－α)(x－β)という関数は下に凸の放物線を表し，被積分関数(∫dxの中身)は
(x-α)(x-β)
＝(x-α)(x-β)－0
＝(下に凸の放物線)－(y=0つまりx軸を表す直線)
ということで，負の面積となります．
正しく面積を出すなら，
＝(y=0つまりx軸を表す直線)－(下に凸の放物線)
＝0－(x-α)(x-β)
＝－(x-α)(x-β)
と(上の曲線)－(下の曲線)としなければなりません．

積分で面積を出す時は必ず『上の曲線』引く『下の曲線』としなければなりません．
これがポイントです！！！
教科書やチャートなどではきっと|f(x)|としてあると思いますが，"上"－"下"をすれば，いいだけなのです．
上引く下をすればf(x)>0つまり|f(x)|という意味になるのです！！

お礼

夜分遅くにご回答いただきありがとうございます。でも、申し訳ありませんが、どなたの回答を読ませていただいてもやはりわかりません。

この問題は進研ゼミのなんですが、質問する前に（おっしゃっている）青チャートでも調べました。
f(x)-g(x)=p(x-α)(x-β)の形のとき
S=－|p|∫（α→β）(x-α)(x-β)dx=|p|/6(β-α) ^3
とありました。
つまりS=|p|/6(β-α) ^3ならば、
この問題では、p=1で、
S=1/6(1) ^3=1/6としました。

また、おっしゃるように，"上"－"下"とすると、
上は、y=0,下は、y=(x-1)(x-2)ですから、
=∫(1→2)（0-（x＾2－3x+2））
=∫(1→2)(- x＾2+3x-2)
=1/6
となると思うのですが、どこが間違っているのでしょうか。
よろしければ、再度ご回答いただけるとうれしいです。宜しくお願いいたします。

回答No.2

catheter

私も-1/6で正解だと思います。

∫(1→2）(x-1)(x-2)dx
=∫(1→2)(x^2-3x+2)dx
=[1/3x^3-3/2x^2+2x](1→2)
=(1/3-3/2+2)-(8/3-6+4)
=-1/6
です。
大学院に入って以来の手動積分です。
計算間違いがあるかもしれないので
注意して下さいね。（本人は自信満々ですが）

＜そもそも積分は面積を求めるので、答えは常に正になると思うのですが、解答は－になっています。

単純に、0→１までの面積から0→２までの面積を引くとマイナスになるよ、ではどうですか。

参考URlに面積うんぬんが書いてありますので
参考にしてみてください。

参考URL：

http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/5427/

お礼

夜分遅くにご回答いただきありがとうございました。
おかしな言い方ですが、計算すると、私もマイナスがつきました。でも、♯３の方のお礼欄にも書かせてもらいましたが、図形的に考えるとうん？となってしまうのです。上－下をすると＋になりますし。参考URLみせていただきました。積分の面積のところもありましたので、またゆっくりみさせていただきます。ありがとうございました。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

積分が常に正ということはありません。
解答であってます。
y=x^2-3x+2は、1<x<2で負の値を取るからです。

積分は、符号付きの面積を求めるものだと思ってください。

お礼

夜分遅くにもかかわらずご回答いただきありがとうございます。みなさんのご回答を読ませていただきました。でもやはり♯3の方のお礼欄にも書かせていただきましたが、いまひとつ納得できずです。積分は必ずしも正とは限らないのですね。それはわかりました。ひとつ勉強させていただきました。ありがとうございました。