定積分∫[1/√3→1]√(1-x^2)dx が解けません。

質問

∫[1/√3→1]√(1-x^2)dx　を解く問題なのですが、公式に当てはめて、
∫√(1-x^2)dx = 1/2*(x√(1-x^2)+arcsinx)
これに積分範囲の[1/√3→1]を代入したのですが、arcsin(1/√3)が計算できませんでした。
答えは (π-2)/6 となるみたいなのですが、電卓等を使わずに計算できるのでしょうか。どなたか教えてください。

回答No.2

htms42 · ベストアンサー

Ｉ＝∫[ａ→１]√(１－ｘ^2)ｄｘ

これは中心が原点にある、半径１の半円のｘ＝ａからｘ＝１までの部分の面積です。
扇形の面積から直角三角形の面積を引けば出てきます。
π／６は６０°の扇形の面積です。
この場合のａの値は１／２です。
Ｉ＝π／６－√３／８
になるはずです。
π／６が出てくるのはこの時だけだと思います。

お礼

なるほど、そういう考え方もあるのですね。　解答ありがとうございました。

回答No.1

info22_

>∫√(1-x^2)dx = 1/2*(x√(1-x^2)+arcsinx)
不定積分ですから積分定数Cを加えておけば合っています。

>答えは (π-2)/6 となるみたいなのですが
これは間違った答えです。
(π-2)/6 ≒0.190265…

正しい答えは
(π/4)-(√2/6)-(1/2)arcsin(1/√3)
　=(1/2)arcsec(√3)-(√2/6)≒0.241956…
同じ値にはなりません。

>arcsin(1/√3)が計算できませんでした。
>電卓等を使わずに計算できるのでしょうか。
できません。
電卓、エクセル、Google電卓、数学ソフト、積分サイトなどで
数値計算により計算しないと無理ですね。

お礼

やはり無理なんですかね；　解答ありがとうございました。