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不定積分 微積分
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- kkkk2222
- ベストアンサー率42% (187/437)
* arctan√x * =arcsin√[(x/(1+x)] * =arccos√[(1/(1+x)] -------------------- y=arcsin√[(x/(1+x)]=arcsin√u u=√[(x/(1+x)]=√V V=(x/(1+x)) dy/dx=(dy/du)(du/dv)(dv/dx) =[1/√(1-(u^2))][1/2√V][1/((1+x)^2)] =[1/√(1-(x/(1+x)))][1/2√(x/(1+x))][1/((1+x)^2)] =[√(1+x)][√(1+x)/2√x)][1/((1+x)^2)] =(1/2(1+x)√x) --------------------------------- P=∫arcsin[√(x/(1+x))]dx =xarcsin[√(x/(1+x))]-∫x*(1/2(1+x)√x)dx =xarcsin[√(x/(1+x))]-(1/2)∫(√x/(1+x))dx ↑ ---- Q=(1/2)∫(√x/(1+x))dx √x= t dx/2√x=dt dx=(dt*2√x) Q=(1/2)∫(t/(1+(t^2))(dt*2√x) =∫((t^2)/(1+(t^2))dt =∫(1+(t^2)-1)/(1+(t^2))dt =∫dt-∫(1/(1+(t^2))dt =t-arctant =√x-arctan√x =√x-arcsin[√(x/(1+x))] ---- P=xarcsin[√(x/(1+x))]-(1/2)∫(√x/(1+x))dx =xarcsin[√(x/(1+x))]-√x+arcsin[√(x/(1+x))] =(x+1)arcsin[√(x/(1+x))]-√x >> =(x+1)arcsin(√x)/(√1+x)ー√x ----------------------------------
- inara
- ベストアンサー率72% (293/404)
楕円積分が出てくるような問題は出ないと思いますが。もしかして、被積分関数は arcsin[ √{ x/( 1 + x ) } ] でしょうか。 だとしたら、その不定積分は ( 1 + x )*arcsin[ √{ x/( 1 + x ) } ] - √( x ) となります。 カッコの使い方で全然違った数式になります。以下は手計算なので間違っているかもしれません。検算してみてください。 【不定積分の計算】 t = √{ x/( 1 + x ) } とおけば、x = t^2/( 1 - t^2 ) ですから、dx = 2*t/( 1 - t^2 )^2 dt となります[1] 。したがって ∫ arcsin[ √{ x/( 1 + x ) } ] dx = ∫arcsin(t)*2*t/( 1 - t^2 )^2 dt ここで、f(t) = arcsin(t)、g(t) = 2*t/( 1 - t^2 )^2 とおいて部分積分法 [2] を使えば、 ∫arcsin(t)*2*t/( 1 - t^2 )^2 dt = f(t)*G(t) - ∫f ' (t)*G(t) dt ですが、G(t) = ∫2*t/( 1 - t^2 )^2 dt は、2*t/( 1 - t^2 )^2 を分数の和に分解すれば 2*t/( 1 - t^2 )^2 = { 1/( 1 - t )^2 - 1/( 1 + t^2 )}/2 なので G(t) = ∫{ 1/( 1 - t )^2 - 1/( 1 + t^2 )}/2 dt = { 1/( 1 -t ) + 1/ (1 +t ) }/2 = 1/( 1 - t^2 ) したがって ∫arcsin(t)*2*t/( 1 - t^2 )^2 dt = f(t)/( 1 - t^2 ) - ∫f ' (t)/( 1 - t^2 ) dt arcsin(t) の微分 f ' (t) は、[3] から f ' (t) = 1/√( 1 - t^2 ) なので、問題の積分は ∫arcsin(t)*2*t/( 1 - t^2 )^2 dt = arcsin(t)/( 1 - t^2 ) - ∫1/( 1 - t^2 )^(3/2) dt = arcsin(t)/( 1 - t^2 ) - t/√( 1 - t^2 ) t = √{ x/( 1 + x ) } なので、 1 - t^2 = 1/( 1 + x ) 。したがって ∫ arcsin[ √{ x/( 1 + x ) } ] dx = arcsin(t)/( 1 - t^2 ) - t/√( 1 - t^2 ) = ( 1 + x )*arcsin[ √{ x/( 1 + x ) } ] - √{ x/( 1 + x ) }*√( 1 + x ) = ( 1 + x )*arcsin[ √{ x/( 1 + x ) } ] - √( x ) 【補足】 [1] t^2/( 1 - t^2 ) の微分 f(t) = t^2、g(t) = 1 - t^2 とすれば、商の微分公式 { f(t)/g(t) }' = ( f'*g - f*g' )/g^2 から { t^2/( 1 - t^2 ) }' = { (t^2)' *( 1 - t^2 ) - t^2*( 1 - t^2 )' }/( 1 - t^2 )^2 = { 2*t*( 1 - t^2 ) - t^2*(-2*t) }/( 1 - t^2 )^2 = 2*t/( 1 - t^2 )^2 [2] 部分積分法 ∫f(t)*g(t) dt = f(t)*G(t) - ∫f ' (t)*G(t) dt ( ただし G(t) = ∫g(t) dt ) [3] arcsin(x) の微分 y = arcsin(x) とおくと、x = sin(y)なので dx = cos(y)*dy → dy/dx = 1/cos(y) -π/2 ≦ y ≦π/2 とすれば、0 ≦ cos(y) だから cos(y) = √[ 1 - { sin(y) }^2 ] = √( 1 - x^2 ) したがって dy/dx = 1/cos(y) = 1/√( 1 - x^2 ) つまり arcsin(x) の微分は 1/√( 1 - x^2 )
- Mr_Holland
- ベストアンサー率56% (890/1576)
この不定積分は、初等関数で表すことができず、第2種楕円積分に帰着するようです。 積分結果だけを書いておきます。 ∫{arcsin (√x)}/√(1+x)dx =2√(1+x) arcsin(√x) -2√2 E(arcsin{√(1-x)},1/2) ただし、E(φ,k)は第2種楕円積分で次式で与えられます。 E(φ,k)=[θ=0→φ]∫√{1-k^2 (sinθ)^2} dθ >ちなみに >=x・arcsin (√x)/(√1+x)+∫(√x)/1+x までは分かりました。 逆三角関数の不定積分の公式を使われたのだと思いますが、計算が違うようです。 √x=t とおいたとき、与えれた積分Iは、 I=2∫{t/√(1+t^2)} arcsin(t)dt と表せますので、ここで、 f(t)=t/√(1+t^2) とおけば、f(t)の不定積分F(t)は F(t)=√(1+t^2) となりますので、 I=2F(t)arcsin(t)-∫F(t)/√(1-t^2) dt =2√(1+x) arcsin(√x) -∫√{(1+t^2)/(1-t^2)} dt と変形できます。 あとは頑張って積分の中身を変形してください。 >答えは (x+1)arcsin(√x)/(√1+x)ー√x になるみたいですが… これを微分しても、被積分関数にはならないと思います。
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補足
答えは間違えありません。 √x=t とおいたとき、与えれた積分Iは、 I=2∫{t/√(1+t^2)} arcsin(t)dt というのも僕は違うと思います。 回答してくれたのに申し訳ありません