不定積分に関する質問

質問

不定積分に関する質問です。
(1)∫1/(1-x^2)^(5/2)dx と
(2)∫x^2/(x^2+1)^(7/2)dx の解き方が分からずに困っております。
答えの求め方を教えて頂けないでしょうか？お願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

たぶん一方ができれば他方も似たようなものだと思うので (1) だけ.
1/(1-x^2)^(5/2) を (x)' ・[1/(1-x^2)^(5/2)] と思って部分積分すると x/(1-x^2)^(5/2) - ∫x ・(-5/2)・(-2x)・[1/(1-x^2)^(7/2)]dx となりますが, この式を整理すると
「1/(1-x^2)^(5/2) の不定積分は 1/(1-x^2)^(7/2) の不定積分で表現できる」
となってダメなように見えますが, この文は言い換えれば
「1/(1-x^2)^(7/2) の不定積分は 1/(1-x^2)^(5/2) の不定積分で表現できる」
となります. したがって最初を 1/(1-x^2)^(3/2) とすれば
「1/(1-x^2)^(5/2) の不定積分は 1/(1-x^2)^(3/2) の不定積分で表現できる」
となって次数が下がります. これで何とかなるのではないでしょうか.

お礼

ありがとうございました。無事に解けました。