• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

dx/dt=αxの積分

dx/dt=αxの両辺を積分するという問題が解りません。 答えはx(t)=x(t=0)*exp(αt)です。 右辺はInαx=1/2αx^2+Cになると思ったのですが、間違っているようです。 t=0のときx=C(積分定数)になる意外わかりません。 どうしたらよいのでしょうか?

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数1
  • 閲覧数1836
  • ありがとう数0

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • okormazd
  • ベストアンサー率50% (1224/2411)

dx/x=αdt 両辺を積分して、t=0のとき、x=x0とかにするとかしたら・・・?。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

回答ありがとうございます。 dx/x=αdtに変形したら出来ました。 ありがとうございました。

関連するQ&A

  • e^-1/Tの積分

    現在、次のような微分方程式を解かなければならず、 悪戦苦闘しています。 dx/dT=k/a*exp(-E/RT)*(1-x) この式のうち、k,a,E,Rは定数で既知なので、無視すると、 dx/dT = exp(-1/T)*(1-x) という微分方程式になります。 私はこの式をxとTの変数分離型の微分方程式と捉えて次のように変形しました。 dx/(1-x) = exp(-1/T)dT これの両辺を積分するのですが、左辺は ln{1/(1-x)} という答えになるのがわかるのですが、右辺の ∫exp(-1/T)dT という積分が解けません。 どなたか教えていただけませんでしょうか。 よろしくお願いいたします。

  • 1/y・dy/dtを積分すると、どうしてlogey+C’’になるのでしょうか?

    とある微分方程式の教科書で勉強していると、疑問に思った箇所がありまして(>_<) dy/dt = ry ・・・(1) を、積分するという話なのですが、これを積分した結果が、 logey = rt+C’ ・・・(2) になるそうなのです。 教科書の説明では、「未知関数yを微分したdy/dt(左辺)は、もとの未知関数yに定数を掛けたものになっている(右辺)」ので、「単に両辺を積分しても、右辺をどう積分していいのかわからない」そうなのです。 そこで、"変数分離法"なるものを利用して、左辺を未知関数yだけに、右辺を定数と変数tだけにするために、両辺をyで割り、その後に積分するという手法を採っていました。 そうすれば、左辺が、 ∫1/y・(dy/dt) dt = ∫dy/y = logey+C’’ ・・・(3) となり、右辺は、 ∫r dt = rt+C’’’  ・・・(4) となるので、両辺の積分定数をまとめてC’と置いて、結果として(2)になるそうなのです。 私がわからないのは、左辺の積分、(3)についてです。 分数の積分の公式に、 1/x →積分→ logex(=lnx) +C http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0 http://sqa.scienceportal.jp/qa4962140.html というものがあるそうなので、1/yを積分した「∫1/y dt」は、「logey+C’’(定数)」になるのだと思います。 でも、今回の積分は「∫1/y・(dy/dt) dt」であり、「∫1/y・dt」とは違うので、logey+C’’になるのはおかしいと思うのです。 教科書が間違っている可能性は低いと思います。 どうしても理解できませんので、皆様のアドバイスをいただければ幸いです。 よろしくお願いします<m(__)m>

  • 微分積分について

    微分積分初心者です。 dy/dx=5という微分方程式があって、これの両辺をxで積分すると ∫dy/dx・dx=∫5dx y=5x + C(Cは積分定数)というのはわかるのですが、 dxを右辺に持って行って、 dy=5dxとして両辺を積分する時は、左辺をyで積分、右辺をxで 積分ということになるのでしょうか? こういうことは可能なのでしょうか? また一階微分の時は右辺にdxを持っていくことができますが、 二階微分以上ではできないのはなぜでしょうか? よろしくお願い致します。

  • 不定積分が解答と一致しません

    √{(x-1)/(2-x)}を積分せよ。という問題の答えが解答と一致しません √(2-x)=tと置いてx=2-t^2,dx==-2tdt  ∫√{(x-1)/(2-x)}dx =∫√(1-t^2)(-2tdt)/t =-2∫√(1-t^2)dt [∫√(1-t^2)dt]の部分は公式を使ったり、部分積分を用いたりして[{t√(1-t^2)+arcsint}/2](ここでは積分定数を省略) よって-√(x-1)(2-x)-arcsin√(2-x)+C(C:積分定数)だと思ったのですが、解答には arctan√{(x-1)/(2-x)}-√(x-1)(2-x)+Cとあります。 -√(x-1)(2-x)-arcsin√(2-x)+Cという答えはあっていますか?

  • 変数分離法で積分するときの積分変数について質問です。

    変数分離法で積分するときの積分変数について質問です。 例えば、dy/dx=yという式を変数分離法で解く時、両辺にdxをかけて、両辺をyで割って、1/ydy=dxという形にして両辺を積分します。このとき、教科書を見ると「∫1/ydy=∫dx+C」となっており、積分定数がついています。 積分の定義は「∫f(x)=F(x)+C」のように、積分を行ったものに積分定数がつくと習いました。しかし、変数分離の式「∫1/ydy=∫dx+C」では積分を行う前に積分定数がついています。これはなぜなのでしょうか?どなたかわかる方がいらっしゃいましたら教えてください。

  • 不定積分

    ∫x^n/n!dx=x^(n+1)/(n+1)!+C(積分定数) となりますが、 n→∞とすると、 左辺=C 右辺=∫0dx=0 だからC=0 この議論てあってますか??

  • 物理の積分がわからない。

    物理の積分なんですが、a=加速度、v=速度、t=時刻を表すとして、 今a=dv/dt⇔dv=adtが成り立っているとします。この両辺を積分するとv(t)=at+C (Cは積分定数) になるみたいなんですが、これが理解できません・・。 不定積分Cはわかりますが、d/dtはtについて微分しろってサインですから、これをtについて積分すればなくなりますよね? すると右辺だけ積分したものはvになり、これと同じ処理をして等号を維持するにはaを積分して、加速度の積分=速度と習ったので実行すると、v=vになってしまいわけがわかりません・・・。 ご教授お願いします。

  • 積分のある公式について

    ∫1 / (x^2 + y^2) dx = log (x + (x^2 + y^2)^1/2 ) + C [Cは積分定数] という公式がありますが、 ∫1/ (x^2 + y^2 ) dx = (x^2 + y^2)^(1 - 1/2) * x^(1 + 2) /1 + 2 + C = (x^2 + y^2)^1/2 * x^3 / 3 + C [Cは積分定数] はいけないのでしょうか。 理由を詳しく教えていただければうれしいです。

  • 部分積分の積分定数

    いつもお世話になっています。 部分積分の公式は積の導関数  (fg)' = f'g + fg' の両辺を積分して変形すれば出てくると思うのですが、 そのとき  fg = ∫f'g dx + ∫fg' dx + C のように積分定数をつけなくてもいいのはなぜですか?

  • 積分の答えについて

    ∫(3x-5)/(x-2)dxの答え方なのですが、3(x-2)+log|x-2|+C C:積分定数とするか3(x-2)を展開して6も積分定数に含め3x+log|x-2|+Cとするのかで迷っています。 どちらの答えでもない可能性もありますが... 回答よろしくお願いします。