dtやdx/dtについて二つ質問があります

質問

x dx/dt =tのとき、
xdx=tdt
が成り立つのは何故ですか？
また、
x dx/dt =tのとき、∫とdtを両辺につけると、約分のように/dtが消え
∫xdx=∫tdt
となるのは何故ですか？
出来れば教えてください

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

ああ、これは失礼。
(d/dt) F(g(t)) = F'(g(t)) g'(t) と書かなきゃね。

これを t で積分すると
F(g(t)) = ∫ F'(g(t)) g'(t) dt で、

f(x) = F'(x), x = g(t) と置けば
∫ f(x) dx = F(x) = ∫ f(g(t)) g'(t) dt.

お礼

そういうことだったんですね
分かりました
ありがとうございました

回答No.1

alice_44

x dx = t dt で考えようとすると、
dx/dt や dt/dx でない dx や dt の意味を理解せざるを得ず、
話の難易度がかなり上がってしまう。
積分して、∫ x dx = ∫ t dt で考えたほうが無難。

置換積分を考えるだけなら、
合成関数の微分 F'(x) = F(g(t))g'(t) を積分した
∫f(x)dx = ∫f(g(t))g'(t)dt で理解するほうがよい。（ f(x) = F'(x) ）
これを f(x) = x = g(t) の場合に適用すれば、
∫ x dx = ∫ x (dx/dt) dt が導ける。

よって、x dx/dt = t となる x, t に対しては
∫ x dx = ∫ t dt だという訳。

補足

置換積分で例えば∫[0～2]√(1-x^2)dxという問題を解くとき、
x=sinθと置いて、両辺をxかθで微分し1=cosθ dθ/dx
両辺にdxかけてdx=cosθdθだから、とやっていたのですが、実際はかなりかけ離れた難易度のことをやっていたんですね

合成関数の微分 F'(x) = F(g(t))g'(t) を積分した
∫f(x)dx = ∫f(g(t))g'(t)dt
とあるのですが、両辺xで積分すれば
f(x) = ∫f(g(t))g'(t)dx
となり、tなら
∫F'(x)dt = ∫F(g(t))g'(t)dt
と、合わないのですが何で積分したのでしょうか？